аналитическая теория дифференциальных уравнений

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ - раздел теории обыкновенных дифференциальных ур-ний, в к-ром решения исследуют методами теории аналитич. ф-ций. Поскольку написать решение в явном виде удаётся лишь для нек-рых дифференц. ур-ний, возникла задача исследования разл. свойств решений по виду ур-ния. В результате появились два направления в исследовании дифференц. ур-ний: А. т. д. у. и теория динамических систем.

В А. т. д. у. исследуют поведение решений на всей комплексной плоскости, расположение особых точек, поведение решений в их окрестности и т. д. В частности, методами А. т. д. у. изучают свойства спец. функций матем. физики. А. т. д. у. существенна для задачи о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки, задач гидро- и аэродинамики, теории солитонов и др. Методы и результаты А. т. д. у. различны для линейных и нелинейных дифференц. ур-ний.

Линейная теория. Рассмотрим систему из п ур-ний

(1)

где , A (z)- матрица-функция порядка n x n с элементами a_ik (z), и скалярное ур-ние порядка п

(2)

Аналитичность решений. Пусть D - область в комплексной плоскости z, все элементы a_ik,(z)и ф-ции f_i(z) аналитичны в D. Если область D односвязна, то все решения системы (1) являются однозначными аналитическими в D вектор-функциями, в ыеодносвязной области решения являются, как правило, многозначными. То же справедливо для ур-ния (2).

Особые точки (ОТ) и их классификация. Рассмотрим однородные ур-ния, соответствующие (1) и (2):

(3) (4)

Точка z₀ наз. ОТ системы (3) или ур-ния (4), если она является ОТ для одного из элементов a_ik (z) (коэф. a_i (z)). Пусть z₀ -полюс, тогда система (3) имеет фундам. матрицу W (z) вида Р, где Р-пост. матрица, матрица-функция | разлагается в ряд Лорана , сходящийся в нек-ром кольце вида ОТ z₀ наз. регулярной, если ряд Лорана для Ф (z) содержит конечное число отрицат. степеней z-z₀, и иррегулярной в противном случае.

Это косвенная классификация: она даётся в терминах свойств решений, а не коэф. системы. Аналогично классифицируются ОТ ур-ния (4). Бесконечно удалённая точка наз. ОТ системы (3), если точка t = 0-особая для системы, полученной из (3) заменой переменного z = l/t; аналогично для ур-ния (4). Регулярные особые точки-наиб. простой и хорошо изученный тип ОТ. Точка z_n является регулярной ОТ ур-ния (4) тогда и только тогда, когда

где ф-ции p_i (z) аналитичны в точке z₀. Точка является регулярной ОТ ур-ния (4) тогда и только тогда, когда , где ф-ции q_i(z) аналитичны в точке . Определяющее ур-ние в регулярной ОТ z₀ имеет вид

его корни наз. характеристич. показателями в точке z₀. Если ни одна из разностей , , не есть целое число, то ур-ние (4) имеет след. фундам. систему решений: где ф-ции аналитичны в точке z₀. Если среди этих разностей есть целые числа, то решения могут содержать целые степени логарифма Ур-ние 2-го порядка с регулярной ОТ z₀ имеет вид

(5)

где ф-ции p₁ (z), p₂ (z) аналитичны в точке z₀, определяющее ур-ние таково:

Если -нецелое число, где -характеристич. показатели, то ур-ние (5) имеет фундам. систему решений , где ф-ции аналитичны в точке z₀, . Если есть целое неотрицат. число, то ур-ние (5) имеет фундам. систему решений

где -постоянная, ф-ции аналитичны в точке z_0.

Примеры: ур-ние Эйри: -иррегулярная ОТ; ур-ние Бесселя: z = 0 - регулярная, -иррегулярная ОТ; гипергеометрич. ур-ние: имеет регулярные ОТ: 0, 1,.

Ур-нием класса Фукса наз. ур-ние (4), все ОТ к-рого на римановой сфере являются регулярными. Известен общий вид таких ур-ний. Все осн. дифференц. ур-ния 2-го порядка, возникающие в задачах матем. физики, можно получить из ур-ния с пятью регулярными независимыми ОТ; при этом разности характеристич. показателей в каждой ОТ равны ¹/₂.

Точка z₀ является регулярной ОТ системы (3), если A(z) = (z-z₀)^-1 В (z), где матрица-функция В (z) ана-литична в точке z₀, . Если все разности, , где -собств. значения матрицы В (z₀), не являются целыми числами, то система (3) имеет фундам. матрицу вида , где Р - диагональная матрица с элементами , матрица-функция аналитична в точке z₀ и невырождена. Если среди этих разностей есть целые числа, то фундам. матрица содержит целые степени. Неизвестны необходимые и достаточные условия того, что z₀ - регулярная ОТ системы (3).

Система , где a_k - разл. комплексные числа, А_к - пост. ненулевые матрицы порядка и А₁+...+ А_т0, является системой класса Фукса и имеет регулярные ОТ а₁ ,а₂, ..., а_т,.

Иррегулярные особые точки. Пусть в системе (3)

где -целое, ряд сходится при , тогда есть иррегулярная ОТ, и система имеет фундам. матрицу вида , где -диагональная матрица, элементы к-рой являются многочленами от , п > 0 - целое:

. Элементы матрицы S имеют вид

Эти ряды сходятся лишь в исключит. случаях и являются асимптотич. разложениями нек-рой фундам. матрицы в нек-рых секторах комплексной плоскости z при . Асимптотика фундам. системы решений ур-ния 2-го порядка даётся ВКБ-формулой

(см. Квазиклассическое приближение)при , z лежит в секторе .

Нелинейная теория. Рассмотрим систему из п ур-ний и задачу Коши

(6)

Теорема Коши. Пусть вектор-функция аналитична в окрестности точки z = z₀, , тогда существует, и притом только одно, решение задачи (6), аналитичное в окрестности точки z₀.

Если аналитически продолжить это решение, то оно будет иметь ОТ. Одно из осн. различий между линейными и нелинейными ур-ниями состоит в том, что решения линейного ур-ния имеют только неподвижные ОТ (они совпадают с ОТ коэфф. и правой части), решения нелинейного ур-ния могут иметь иные (подвижные) ОТ. Пример: ур-ние , решение имеет полюс в точке z=С, С любое. Классификация ОТ следующая. 1) Алгебраическая ОТ. Вблизи точки z = a решение нредставимо сходящимся рядом но целым или дробным степеням

, где р, q-целые числа, . 2) Трансцендентная ОТ. Это такая неалгебраич. ОТ, что существует.

Пример: . 3) Существенно особая точка. Предел не существует. Ур-ние не имеет подвижных существенно особых точек, если Р - полином от с аналитическими по z коэфф. Рассмотрим автономную систему из п ур-ний

(7)

вектор-функция аналитична в окрестности точки и f(0) = 0. Пусть -собств. значения матрицы Якоби , т. е. матрицы линеаризов. системы. Они наз. резонансными, если при нек-ром s, где -целые числа, , и нерезонансными в противном случае.

Теорема Пуанкаре. Пусть нерезонансны и лежат по одну сторону от нек-рой прямой в комплексной плоскости , проходящей через начало координат. Тогда с помощью аналитич. замены переменных , система (7) приводится к виду , в нек-рой окрестности точки .

Лит.: Айнс Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Хар., 1939; Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1950; Коддингтон Э., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958: Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1958; Арнльд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978; Федорюк М. В., Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, М.. 1983. М. В. Федорюк.

   <<      Предметный указатель      >>