Изучение Европы - спутника ЮпитераАмериканскими исследователями разрабатывается план для изучения Европы, спутника Юпитера. Именно на него будет отправлен аппарат, для поиска следов жизни или внеземного разума. Далее... |
аналитическая теория дифференциальных уравнений
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ - раздел теории обыкновенных дифференциальных ур-ний, в к-ром решения исследуют методами теории аналитич. ф-ций. Поскольку написать решение в явном виде удаётся лишь для нек-рых дифференц. ур-ний, возникла задача исследования разл. свойств решений по виду ур-ния. В результате появились два направления в исследовании дифференц. ур-ний: А. т. д. у. и теория динамических систем.
В А. т. д. у. исследуют поведение решений
на всей комплексной плоскости, расположение особых точек, поведение решений
в их окрестности и т. д. В частности, методами А. т. д. у. изучают свойства
спец. функций матем. физики. А. т. д. у. существенна для задачи о движении твёрдого
тела вокруг неподвижной точки, задач гидро- и аэродинамики, теории солитонов
и др. Методы и результаты А. т. д. у. различны для линейных и нелинейных дифференц.
ур-ний.
Линейная теория. Рассмотрим систему
из п ур-ний
(1)
где ,
A (z)- матрица-функция порядка
n x n с элементами aik
(z), и скалярное ур-ние порядка п
(2)
Аналитичность решений. Пусть D - область в комплексной плоскости z, все элементы aik,(z)и ф-ции fi(z) аналитичны в D. Если область D односвязна, то все решения системы (1) являются однозначными аналитическими
в D вектор-функциями, в ыеодносвязной области решения являются, как правило,
многозначными. То же справедливо для ур-ния (2).
Особые точки (ОТ) и их классификация.
Рассмотрим однородные ур-ния, соответствующие (1) и (2):
(3)
(4)
Точка z0 наз. ОТ системы
(3) или ур-ния (4), если она является
ОТ для одного из элементов aik (z) (коэф. ai
(z)). Пусть z0 -полюс, тогда система (3) имеет фундам. матрицу
W (z) вида
Р, где Р-пост. матрица,
матрица-функция
|
разлагается в ряд Лорана
, сходящийся в нек-ром кольце вида
ОТ z0 наз. регулярной, если ряд Лорана для Ф (z) содержит конечное
число отрицат. степеней z-z0, и иррегулярной в противном случае.
Это косвенная классификация: она даётся
в терминах свойств решений, а не коэф. системы. Аналогично классифицируются
ОТ ур-ния (4). Бесконечно удалённая точка
наз. ОТ системы (3), если точка t = 0-особая для системы
,
полученной из (3) заменой переменного z = l/t; аналогично для ур-ния
(4). Регулярные особые точки-наиб. простой и хорошо изученный тип ОТ. Точка
zn является регулярной ОТ ур-ния (4) тогда и только тогда, когда
где ф-ции pi (z) аналитичны
в точке z0. Точка
является регулярной ОТ ур-ния (4)
тогда и только тогда, когда
, где ф-ции qi(z) аналитичны в точке
.
Определяющее ур-ние в регулярной ОТ z0 имеет вид
его корни наз. характеристич. показателями
в точке z0. Если ни одна из разностей
,
, не есть целое
число, то ур-ние (4) имеет след. фундам.
систему решений: где ф-ции
аналитичны в точке z0. Если среди этих разностей есть целые числа,
то решения могут содержать целые степени логарифма
Ур-ние 2-го порядка с регулярной ОТ z0 имеет вид
(5)
где ф-ции p1 (z),
p2 (z) аналитичны в точке z0, определяющее ур-ние
таково:
Если
-нецелое число, где
-характеристич.
показатели, то ур-ние (5) имеет фундам. систему решений
,
где ф-ции
аналитичны
в точке z0,
.
Если
есть целое
неотрицат. число, то ур-ние (5) имеет фундам. систему решений
где
-постоянная, ф-ции
аналитичны в точке
z0.
Примеры: ур-ние Эйри:
-иррегулярная ОТ; ур-ние Бесселя:
z = 0 - регулярная,
-иррегулярная ОТ; гипергеометрич. ур-ние:
имеет регулярные ОТ: 0, 1,
.
Ур-нием класса Фукса наз. ур-ние (4),
все ОТ к-рого на римановой сфере являются регулярными. Известен общий вид таких
ур-ний. Все осн. дифференц. ур-ния 2-го порядка, возникающие в задачах матем.
физики, можно получить из ур-ния с пятью регулярными независимыми ОТ; при этом
разности характеристич. показателей в каждой ОТ равны 1/2.
Точка z0 является регулярной
ОТ системы (3), если A(z) = (z-z0)-1 В (z),
где матрица-функция В (z) ана-литична в точке z0,
. Если все разности
,
, где
-собств.
значения матрицы В (z0), не являются целыми числами, то система
(3) имеет фундам. матрицу вида
,
где Р - диагональная матрица с элементами
,
матрица-функция
аналитична в точке z0 и невырождена. Если среди этих разностей есть
целые числа, то фундам. матрица содержит целые степени
.
Неизвестны необходимые и достаточные условия того, что z0
- регулярная ОТ системы (3).
Система
, где ak - разл. комплексные числа, Ак - пост.
ненулевые матрицы порядка
и А1+...+ Ат
0,
является системой класса Фукса и имеет регулярные ОТ а1 ,а2,
..., ат,
.
Иррегулярные особые точки. Пусть в системе
(3)
где
-целое, ряд сходится при
,
тогда
есть иррегулярная
ОТ, и система имеет фундам. матрицу вида
,
где
-диагональная
матрица, элементы к-рой являются многочленами от
,
п > 0 - целое:
. Элементы
матрицы S имеют вид
Эти ряды сходятся лишь в исключит. случаях
и являются асимптотич. разложениями нек-рой фундам. матрицы в нек-рых секторах
комплексной плоскости z при
. Асимптотика фундам. системы решений ур-ния 2-го
порядка даётся ВКБ-формулой
(см. Квазиклассическое приближение)при
, z лежит в секторе
.
Нелинейная теория. Рассмотрим систему
из п ур-ний и задачу Коши
(6)
Теорема Коши. Пусть вектор-функция
аналитична в окрестности точки z = z0,
, тогда существует, и притом только
одно, решение задачи (6), аналитичное в окрестности точки z0.
Если аналитически продолжить это решение,
то оно будет иметь ОТ. Одно из осн. различий между линейными и нелинейными ур-ниями
состоит в том, что решения линейного ур-ния имеют только неподвижные ОТ (они
совпадают с ОТ коэфф. и правой части), решения нелинейного ур-ния могут иметь
иные (подвижные) ОТ. Пример: ур-ние
, решение
имеет
полюс в точке z=С, С любое. Классификация ОТ следующая. 1) Алгебраическая
ОТ. Вблизи точки z = a решение нредставимо сходящимся рядом но целым
или дробным степеням
, где р, q-целые числа,
. 2) Трансцендентная ОТ. Это такая неалгебраич. ОТ, что существует
.
Пример:
. 3) Существенно особая точка. Предел
не существует. Ур-ние
не имеет подвижных существенно особых
точек, если Р - полином от
с аналитическими по z коэфф. Рассмотрим автономную систему из п ур-ний
(7)
вектор-функция
аналитична в окрестности точки
и f(0) = 0. Пусть
-собств.
значения матрицы Якоби
,
т. е. матрицы линеаризов. системы. Они наз. резонансными, если
при нек-ром s, где
-целые числа,
, и нерезонансными в противном случае.
Теорема Пуанкаре. Пусть
нерезонансны и лежат по одну сторону от нек-рой прямой в комплексной плоскости
, проходящей через
начало координат. Тогда с помощью аналитич. замены переменных
,
система (7) приводится
к виду
,
в
нек-рой окрестности точки
.
Лит.: Айнс Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Хар., 1939; Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1950; Коддингтон Э., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958: Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1958; Арнльд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978; Федорюк М. В., Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, М.. 1983. М. В. Федорюк.