аналитическая функция

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (голоморфная функция) - функция f(z) комплексной переменной, к-рая дифференцируема в след. смысле: в каждой точке z₀ нек-рой области D комплексной плоскости С существует производная , причём предел не зависит от способа стремления Дг к нулю. Рассматриваются А. ф. мн. комплексных переменных. А. ф. широко распространены в математике и её физ. приложениях. Ряд задач классич. веществ. анализа решается переходом к комплексным переменным. Все элементарные и спец. ф-ции аналитичны в тех или иных областях, причём выход в комплексную плоскость обнаруживает глубокие связи между этими ф-циями. Теория А. ф. прямо связана с теорией двумерного Лапласа уравнения и, следовательно, с теорией гармонических функций. Важной характеристикой А. ф. являются её особенности, т. е. точки комплексной плоскости, в к-рых нарушается аналитичность.

Классификация особенностей А. ф. позволяет во многом охарактеризовать и свойства ф-ции в целом. Ф-ции комплексной переменной использовались уже в 18 в., в частности в работах Л. Эйлера (L. Euler). Окончательно теория А. ф. одной переменной оформилась в работах О. Коши (А. Саuchy), К. Вейерштрасса (К. Weierstrass) и Б.Римана (В. Riemann) в 19 в. Теория А. ф. многих переменных продолжает интенсивно развиваться.

Одна из причин широкого применения А. ф. в физике связана с физ. требованиями типа причинности. Так, в квантовой теории поля аналитичность Уайтмена функций и амплитуд рассеяния вытекает из исходных постулатов теории. Метод дисперсионных соотношений целиком базируется на теории А. ф., ур-ния Янга - Миллса можно записать как условия аналитичности нек-рых ф-ций. Большое число приложений А. ф. связано также с двумерными задачами электростатики, гидродинамики и т. д., где используются, напр., конформные отображения.

Основные свойства. Если и - вещественная и мнимая части ф-ции , то требование существования комплексной производной эквивалентно т. н. ур-ниям Коши - Римана

из к-рых следует, что и являются гармонич. ф-циями. Две ф-ции, гармонические в области D и удовлетворяющие там ур-ниям Коши - Римана, наз. взаимно сопряжёнными. Любая производная А. ф. f(z) есть также А. ф. В окрестности каждой точки z из области D А. ф. можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Тейлора:

Радиус сходимости этого ряда не меньше радиуса любого круга с центром в z₀, содержащегося в D. Обратно, если в каждой точке z₀ из D ф-ция f(z) представима абсолютно сходящимся степенным рядом, то f(z) аналитична в D, так что разложимость в степенной ряд можно считать др. эквивалентным определением А. ф.

Пример: для распространённых элементарных ф-ций e^z, sin z и cos z имеют место след. разложения в точке z₀=0:

из к-рых, в частности, вытекает ф-ла Эйлера

Специфичны и интегральные св-ва А. ф. Если замкнутый контур Y целиком лежит в области аналитичности D ф-ции / (z) и там его можно стянуть в точку, то интеграл от /(z) по этому контуру равен нулю. Это свойство также вполне характеризует А. ф.: если для нек-рой непрерывной в D ф-ции / (z) для любого контура с перечисленными выше свойствами, то f(z) аналитична в D. Для А. ф. выполняется важная ф-ла Коши

справедливая для любой точки z₀, к-рая лежит в области, ограниченной контуром , причём направление обхода контура должно быть таким, чтобы область оставалась слева.

Для А. ф. имеет место принцип максимума модуля, согласно к-рому модуль А. ф., отличной от постоянной, не может достигать своего макс. значения ни в какой внутр. точке области аналитичности D. Напр., если А. ф. задана в единичном шаре , по модулю не превосходит там 1 и f(0)=0, то при (лемма Шварца). Применительно к областям спец. вида принцип максимума приводит к следующей теореме Фрагмена - Линделёфа.

Пусть f(z) аналитична в секторе и непрерывна вплоть до его границы, на к-рой её модуль не превосходит постоянной М. Если, кроме того, при , то во всём секторе. Теоремы типа Фрагмена - Линделёфа существенно используются в теории рассеяния элементарных частиц высокой энергии, приводя там к асимптотич. соотношениям между сечениями рассеяния частиц и античастиц (Померанчука теорема и др.).

Понятие аналитичности имеет смысл также и на множествах более сложных, чем области комплексной плоскости С, но локально устроенных как последние. Напр., добавляя к С бесконечно удалённую точку, получают расширенную комплексную плоскость С. Комплексная структура в окрестности бесконечно удалённой точки задаётся отображением , переводящим её в начало координат. Ф-ция f(z) аналитична в окрестности бесконечно удалённой точки, если аналитична в окрестности точки z=0. Для областей в справедливо всё сказанное выше. В то же время, если f(z) аналитична во всей , то она постоянна (теорема Лиувилля).

Особые точки. Точки, в к-рых нарушается аналитичность ф-ции f(z), наз. её особыми точками. Если f(z) аналитична во всех точках нек-рой окрестности точки z₀, кроме, быть может, её самой, то z₀ наз. изолиров. особой точкой. В окрестности изолиров. особой точки f(z) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Лорана, содержащий, быть может, отрицат. степени (z-z₀):

Различают три типа изолиров. особых точек: устранимую особую точку, полюс и существенно особую точку. Точка z₀ наз. устранимой, если f(z) ограничена в нек-рой её окрестности. Полагая (этот предел существует), получают ф-цию, аналитическую и в z₀. Изолиров. особая точка z₀ наз. полюсом, если .

В этом случае лишь конечное число членов лорановского разложения f(z) в z₀ с отрицат. степенями (z - z₀) отлично от нуля. Коэф. c_j наз. вычетом функции f(z) в точке z₀ и обозначается . Если бесконечное число членов ряда Лорана f (z) в точке z₀ с отрицат. показателями п отлично от нуля, то z₀ наз. существенно особой точкой. Существенно особые точки характеризуются тем, что для любого комплексного числа а существует последовательность z_к, сходящаяся к z₀ при , такая, что

Пусть -замкнутый контур, лежащий в области аналитичности ф-ции f(z) и содержащий внутри себя лишь её полюсы (их обязательно конечное число), расположенные в точках z₁ ..., z_n, тогда

Эта формула является основой теории вычетов и служит эфф. инструментом для вычисления определ. интегралов. Ф-ция, аналитическая во всей комплексной плоскости, за исключением, быть может, полюсов, наз. мероморфной. Ф-ция, не имеющая в С особых точек, наз. целой.

Многозначные функции. Всякая А. ф. однозначно восстанавливается по своим значениям в любом сколь угодно малом открытом подмножестве области аналитичности. Более того, если две аналитические в D ф-ции совпадают в счётном числе точек из D, имеющих хотя бы одну предельную точку, также принадлежащую D, то эти ф-ции совпадают и всюду в D. Типичной является ситуация, когда А. ф. первоначально задана в нек-рой области D, но продолжается до А. ф. в существенно большей области. Т. о., возникает задача об аналитическом продолжении заданной А. ф. до А. ф. в максимально возможной области.

Чтобы эта задача была разрешима в классе однозначных ф-ций, приходится расширить понятие области, допустив возможность её самоналожений. Это приводит к понятию неоднолистных областей, в частности римановой поверхности данной А. ф. Пусть f(z) - А. ф. в области D к - нек-рый путь, соединяющий точку z₀ из D с точкой z' из расширенной комплексной плоскости. Говорят, что f(z) аналитически продолжается вдоль, если существует конечное число кругов V_к, к=0, 1, ..., N с центрами, последовательно расположенными на , и ф-ции f_к(z) аналитические в V_к, такие, что f_к(z)= =f_к-1(z) в пересечении V_к, и V_k-1.

Если f(z) аналитически продолжается вдоль двух путей с началом в z₀ и концом в z', то в результате этих продолжений в окрестности точки z' могут получиться, вообще говоря, разные А. ф. Риманову поверхность ф-ции f(z), первоначально заданной в D, можно понимать как множество всех путей, к рые исходят из нек-рой точки z₀, лежащей в D, и вдоль к-рых f(z) аналитически продолжима. При этом два пути отождествляются, если они заканчиваются в одной и той же точке и приводят к одинаковым А. ф. в её окрестности. Тем самым всякая аналитическая в D ф-ция f(z) определяет нек-рую ф-цию, аналитическую на своей римановой поверхности,- полную А. ф.

Пусть f(z) аналитична в нек-рой области D и аналитически продолжается (вообще говоря, неоднозначно) вдоль любого пути, не содержащего фиксиров. точку z₀ (такая точка наз. точкой ветвления). Если провести разрез плоскости С, соединяющий точку z₀ с бесконечно удалённой точкой, то можно получить конечное или счётное число ф-ций, аналитичных в плоскости С с разрезом, получающихся из f(z) аналитич. продолжением вдоль путей, огибающих z₀ заданное число раз. Риманову поверхность ф-ции f(z) можно представить себе как конечное или счётное число экземпляров плоскостей С с разрезом (листов), склеенных вдоль берегов разрезов таким образом, что каждый оборот вокруг z₀ переводит точку на новый лист.

А. ф., заданная в области D, наз. однолистной в D, если она осуществляет взаимно однозначное отображение D на её образ =f(D), к-рый также является областью. Всякая однолистная в D А. ф. задаёт конформное отображение D на в том смысле, что оно сохраняет углы между кривыми. Обратно, всякое (гладкое) конформное взаимно однозначное отображение D на , сохраняющее углы между кривыми (по величине и знаку), порождается нек-рой однолистной в D А. ф., такой, что =f(D). Области D и в этом случае наз. конформно изоморфными. Согласно теореме Римана, любые две односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно изоморфны.

Функции многих переменных. Теория А. ф. мн. комплексных переменных по сравнению с одномерной теорией обладает новыми специфич. чертами. Ф-ция f(z), z=(z₁, ..., z_n) наз. аналитической (голоморфной) в области D n-мерного комплексного пространства , если в окрестности каждой её точки z₀=(z₀₁, ..., z_0n) она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда:

По теореме Гартогса f(z) аналитична в D тогда и только тогда, когда она аналитична по каждому переменному в отдельности при фиксированных остальных в соответствующих сечениях области D.

Важное отличие многомерной теории от одномерной состоит в существовании таких областей, что голоморфные в них ф-ции обязательно аналитически продолжаются в существенно большие области. В частности, при не существует А. ф. с изолиров. особенностями. Естеств. областями определения А. ф. служат т. н. области голоморфности. Область D в наз. областью голоморфности, если существует ф-ция, голоморфная в D и аналитически непродолжимая ни в какую другую большую область (в т. ч. и неоднолистную).

Свойство области быть областью голоморфности есть локальное свойство её границы, обобщающее понятие выпуклости. Если D не является областью голоморфности, то все ф-ции, голоморфные в D, одноврем. продолжаются в нек-рую большую область. Вопрос об отыскании такой наибольшей области (оболочки голоморфности), как и в случае аналитич. продолжения заданной функции, приводит к многолистным областям наложения над (многообразиям Штейна).

Др. пример неожиданного "принудительного" продолжения многомерных А. ф. даёт теорема об острие клина (получена Н. Н. Боголюбовым в 1956), играющая важную роль в теории дисперсионных соотношений и аксиоматич. квантовой теории поля. По этой теореме две ф-ции, аналитические каждая в своей спец. вида трубчатой области и совпадающие на n-мерном чисто вещественном открытом множестве соприкосновения этих областей (т. е. на множестве вдвое меньшей размерности), аналитически продолжаются в комплексную окрестность G этого множества и представляют собой единую А. ф. Вид области G можно найти с помощью теоремы о С-выпуклой оболочке (получена В. С. Владимировым в 1964).

Лит.: Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 13 изд., М., 1984; Лаврентьев М. А., Шабат В. В., Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд., М., 1973; Бвграфов М. А., Аналитические функции, 2 изд., М., 1968; Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1-2, М., 1976. Б. И. Завьялов.

   <<      Предметный указатель      >>