аналитическое продолжение

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ - расширение области определения аналитич. ф-ции с сохранением её аналитичности. А. п.- осн. метод доказательства дисперсионных соотношений; используется в аксиоматической квантовой теории поля и др. областях физики.

Пусть аналитич. ф-ция определена степенным рядом в точке z₀ и тем самым задана первоначально в нек-ром круге. Если разложить ф-цию в ряд в окрестности др. точки z₁, то круг сходимости нового ряда может оказаться частично за пределами исходного круга. Тогда эти два ряда определяют единую ф-цию, аналитическую в объединении двух кругов, т. е. в области большей, чем первоначальная. А. п. можно строить, повторяя этот процесс, каждый раз расширяя область аналитичности ф-ции. Не исключено, однако, что на к--л. этапе мы вновь вернёмся к точкам, где ф-ция уже была определена ранее, напр. к точкам исходного круга. Совпадения в этой области исходной ф-ции с ф-цией, полученной в результате такого А. п., может и не быть. Т. о. возникают многозначные аналитич. ф-ции, к-рые приводят к понятиям многолистных областей, римановых поверхностей и др.

Пусть D₁ и D₂ - области расширенной комплексной плоскости (см. Аналитическая функция ),а f₁ и f₂ - ф-ции, аналитические соответственно в D₁ и D₂. Если f₁ и f₂ совпадают в связной части пересечения областей D₁ и D₂, то говорят, что пары (D₁,f₁ ) и (D₂,f₂) являются непосредственным А. п. друг друга через область При этом ф-ция f₂ однозначно определяется ф-цией f₁, и наоборот. Ф-ции f₁ и f₂ не обязаны совпадать в др. связных частях пересечения D₁ и D₂. Если в к--л. части такого совпадения нет, то её удобно "расщепить" на два листа, задавая на одном из них ф-цию, равную f1, на другом - f₂. Так появляется простейшая неоднолистная область и однозначная аналитич. ф-ция в ней (но неоднозначная в объединении D₁ и D₂).

Критерий однозначности А. п. даёт теорема о монодромии. Пусть ф-ция f(z)задана и аналитична в нек-рой окрестности точки z₀, принадлежащей односвязной области D. Если f(z) аналитически продолжается вдоль любого пути, выходящего из z₀ и лежащего в D, то в результате А. п. получается однозначная аналитич. ф-ция. Две пары (D, f) и (G, g), где D, G - области расширенной комплексной плоскости , а f, g - ф-ции, аналитические соответственно в D и G, наз. А. п. друг друга, если их можно "соединить" конечным числом пар (D_i, f_i), "=1, ..., п, (D₁,f₁)=(D, f), (D_n, f_n)=(G, g), таких, что каждая последующая пара является непосредственным А. п. предыдущей. Макс. совокупность пар, каждая из к-рых является А. п. любой другой, задаёт ф-цию, аналитическую (и однозначную) на соответствующей римановой поверхности.

Пример. Пусть f(z) обладает в плоскости С единственной особой точкой z₀=0, являющейся точкой ветвления n-го порядка (напр., ) . Её риманова поверхность представляет собой п экземпляров плоскости С с разрезом вдоль вещественной положит. полуоси (листов) D_i, i=l, ..., п. При этом точки верх. берега каждого последующего листа отождествляются с соответствующими точками ниж. берега предыдущего листа. Точки ниж. берега первого листа отождествляются с соответствующими точками верх. берега n-го листа. Т. о., каждый полный обход вокруг начала координат переводит точку на след. лист. При n-кратном обходе она возвращается на лервонач. лист.

Эфф. инструментом А. п. служит т.н. принцип симметрии. Пусть ф-ция f(z) аналитична в области D, содержащей на своей границе отрезок веществ.

оси f. Если f(z)принимает на I веществ. значения, то она аналитически продолжается через I в область D*, полученную из D отражением относительно веществ. оси. С помощью конформных отображений последнее утверждение обобщается на случай, когда ф-ция f(z) переводит дугу окружности на дугу окружности. Существуют и др. методы А. п. К ним относятся методы, основанные на многочисл. аналитич. представлениях, разл. способы суммирования степенных рядов, функциональные соотношения, мероморфное продолжение при помощи Паде аппроксимаций и т. п. Важной задачей А. п. ф-ций мн. комплексных переменных является задача об отыскании т.н. оболочки голоморфности (т. с. макс. области, в к-рую продолжается любая ф-ция, голоморфная в заданной области).

Лит.: см. при ст. Аналитическая функция. Я. И. Завьялов.

   <<      Предметный указатель      >>