антисимметрия

АНТИСИММЕТРИЯ - симметрия объектов не только по геом. координатам в пространстве, но и по добавочной дискретной негеом. переменной, к-рая может принимать лишь 2 противоположных значения: . В 3-мерном пространстве при наличии А. объект описывается координатами его точек x₁, x₂ и x₃ и дополнит. переменной , к-рую удобно интерпретировать условно как "цвет" точки - чёрной или белой; если белым (чёрным) точкам одного объекта соответствуют чёрные (белые) точки геометрически равного ему другого объекта, то объекты антисимметричны. Физ. величинами, которые можно описывать переменной x₄, являются знак заряда, направление спина и т. п. А. впервые введена Г. Хеешем (H. Heesch) (1929), её полная теория развита А. В. Шубниковым (1951).

Операция изменения переменной x₄, при к-рой объект меняет знак ("цвет"), но остаётся неподвижным, тождественным самому себе в пространстве, наз. операцией антиотождествления и обозначается 1' (1 - операция обычного отождествления, так что 1'²= 1). В А. имеются 4 вида равенства между геометрически равными объектами: отождествление, зеркальное равенство, антиотождествление, зеркальное антиравенство (рис.).

Типы равенства в антисимметрии: а - а, б - б, . . .- отождествление; а - б, в - г - зеркальное равенство, а - в, б - г - антиотождествление; а - г, б - в - зеркальное антиравенство.

Зеркальное отражение m меняет хиральность объекта, превращая его из правого в левый и наоборот; операции антиотождествления 1' соответствует изменение "цвета", а отражение с переменой "цвета" - операция - меняет одновременно и хиральность и "цвет" объекта. Из любой операции симметрии в трёхмерном пространстве можно построить "антиоперацию" .

Аналогично обычным элементам симметрии можно ввести элементы А., каждый из к-рых одноврем. с геом. преобразованием осуществляет изменение знака 4-й переменной. Группы А. содержат как операции обычной симметрии, так и операцию А. Операции обычной симметрии образуют подгруппу индекса 2 в любой группе А.:.

Существует 58 "чёрно-белых" точечных групп А. кристаллов и 32 "серые" (нейтральные) группы А., а также 32 "одноцветные" группы, совпадающие с обычными кристаллографич. точечными группами. В фиа. интерпретации группы А. являются точечными группами магнитной симметрии кристаллов.

Пространственные трижды периодич. группы А. (т. н. шубниковские группы) являются асимметричным расширением обычных фёдоровских пространств. групп , описывающих атомную структуру кристаллов. Групп всего 1651. Из них 1421 (креме "серых") применяются, в частности, для описания расположения спинов атомов в кристаллах, обладающих магн. свойствами. А. является одним из обобщений обычной симметрии и может быть формально сведена к одному из вариантов симметрии в 4-мерном пространстве. Др. обобщение А.- цветная симметрия .В теории кратной А. вводятся дополнит. переменные , , ..., каждая из к-рых описывает определ. признак объекта.

Лит.: Шубников А. В., Копцик В. А., Симметрия в науке и искусстве, 2 изд., M., 1972; Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, M., 1951; Копцик В. А., Шубниковские группы, M., 1966; Xамермеш

M., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, пер. с англ., M., 1966 (таблицы групп А. на с. 89); Современная кристаллография, под ред. Б. К. Вайнштейна, т. 1, M., 1979. Б. К. Вайнштейн.

   <<      Предметный указатель      >>