асимптотическое разложение

(1)

где , n = 0, 1, 2, ... - последовательность ф-ций, для к-рой при (знак ~ означает асимптотич. равенство). Если коэффициенты -постоянные, то разложение (1) наз. асимптотич. разложением в смысле Пуанкаре, ряд в правой части (1) - асимптотич. рядом, а - выделенной точкой. Важным частным случаем асимптотич. рядов является асимптотич. степенной ряд

(2)

причём по определению

(3)

Соответствующее ему А. р. есть А. р. в смысле Пуанкаре. Асимптотич. ряды, как правило, расходятся, тем не менее их практич. ценность очень велика, т. к. каждая частичная сумма ряда даёт приближённое выражение для с погрешностью, убывающей с уменьшением х тем быстрее, чем больше N. Однако, в отличие от сходящихся рядов, расходящиеся асимптотич. ряды могут обеспечить лишь нек-рую конечную точность приближения, зависящую от величины N. В квантовой теории поля, напр., асимптотич. ряд перенормированной теории возмущений по константе взаимодействия, точнее по её квадрату а, как правило, имеет факториально растущие коэфф., т. е. ряд имеет вид

(4)

где - нек-рое медленно меняющееся по сравнению с число, зависит от представляемой рядом величины. В частности, в квантовой электродинамике, где , несмотря на расходимость ряда (4), его частичные суммы, вплоть до N= 137, обеспечивают точность приближения, к-рая практически может счи-татья абсолютной.

Др. пример асимптотич. степенного ряда - А. р. интеграла

(5)

где - модифицир. ф-ция Бесселя III рода, или ф-ция Макдональда (см. Цилиндрические функции). Степенное А. р. может быть получено разложением экспоненты в подынтегральном выражении (5) в ряд Маклорена по x и последующим почленным интегрированием:

(6)

где - гамма ф-ция Эйлера (см. Эйлера интегралы ).Ряд (6) имеет нулевой радиус сходимости, т. е. он расходится при всех значениях х, однако несколько первых его членов дают удовлетворит. описание поведения ф-ции в окрестности точки x=0. A. р. типа (6) характерны для большого числа задач квантовой механики, квантовой статистики и квантовой теории поля [2]. Это связано с представлением амплитуд перехода между разл. состояниями системы с помощью функционального интеграла. Так, амплитуда перехода из вакуума в вакуум в модели с взаимодействием (где - нек-рое скалярное поле, - константа взаимодействия) в евклидовой квантовой теории поля записывается в виде, аналогичном интегралу (5):

Асимптотич. ряды можно складывать, перемножать, делить и интегрировать точно так же, как сходящиеся степенные ряды, причём в результате получаются новые асимптотич. ряды. Дифференцирование асимптотич. ряда возможно только в случае, если имеет непрерывную производную, к-рая также разлагается в асимптотич. степенной ряд; тогда

А. р. (1) может быть определено и для ф-ции комплексного аргумента z в окрестности точки, напр. в области D: , при z₀=0.

Ф-ция не может быть представлена более чем одним А. р. в данной области значений аргумента, однако данному А. р. может соответствовать неск. разл. ф-ций. Однозначное восстановление ф-ции по её А. р. может быть осуществлено в ряде случаев, если известны аналитич. свойства искомой ф-ции. Именно такие задачи возникают в физ. приложениях, напр. в квантово-механич. и квантовополевой теории возмущений.

Проблема суммирования асимптотич. рядов в квантовой теории приобрела актуальность во 2-й пол. 70-х гг. после разработки способа получения асимптотич. оценок для коэффициентов степенных разложений теории возмущений, таких, что Одним из распространённых приёмов суммирования в случае знакопеременных коэф. является метод, в к-ром предполагается, что сумма обладает аналитич. свойствами, соответствующими Лапласа преобразованию по переменной , а также правомерность перестановки операций суммирования и интегрирования (метод Бореля). Другим распространённым приёмом суммирования асимптотич. рядов является аналогичное использование преобразования Зоммерфельда - Ватсона (см. [3]). В реальных квантовополевых задачах, в отличие от квантовомеханических, аналитич. свойства суммы, как правило, неизвестны, вследствие чего использование того или иного конкретного способа суммирования обычно имеет статус правдоподобной гипотезы.

Понятия "А. р." и "асимптотич. ряд" введены А. Пуанкаре в 1886 в связи с задачами небесной механики. Однако частные случаи А. р. были открыты и применялись ещё в 18 в. А. р. и асимптотич. ряды играют большую роль в разл. задачах математики, механики и физики. Это вызвано тем, что MH. задачи нельзя решить точно, но удаётся получить А. р. решения.

Лит.: 1) Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. H., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, M., 1962, гл. 8; 2) Ding1е R. В., Asymptotic expansions, L.-N. Y., 1973; 3) Казаков Д. И., Ширков Д. В., Суммирование асимптотических рядов в квантовой теории поля, Дубна, 1980: Каzакоv D. I., Shirkov D. V., Asymptotic series of quantum field theory and their summation, "Fortschr. Phys.", 1980, Bd 28, S. 485. Д. И. Казаков, Д. В. Ширков.

   <<      Предметный указатель      >>