беклунда преобразование

БЕКЛУНДА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - способ конструирования точных решений нек-рых нелинейных уравнений математической физики. Предложен в 1875 А. Беклундом (A. Backlund) в связи с изучением поверхностей пост. отрицат. кривизны. Для этих поверхностей элемент длины в подходящих координатахможно записать в виде , где подчиняется синус-Гордона уравнению

Если - произвольное решение этого ур-ния, то , подчиняющееся ур-ниям

при произвольном а, также оказывается решением ур-ния (1). Ур-ния (2) являются обыкновенными дифференциальными ур-ниями и принципиально проще ур-ния в частных производных (1). Если известны два Б. п. с параметрами а₁, а₂, то можно построить третье решение , минуя квадратуры, по ф-ле

Если =0, Б. п. порождает важное частное решение ур-ния (1) - кинк (англ. kink - перегиб), или единичный солитон . Полагая а₁, а₂ комплексно сопряжёнными, , получаем др. важное решение ур-ния (1) - осциллирующий солитон, или брезер (от англ. to breathe - дышать)

Последоват. применение Б. п., начиная с =0, позволяет найти в явном виде N-солитонные решения ур-ния (1), описывающие рассеяние кинков и брезеров друг на друге.

Совершая на фоне произвольного w₀ последоват. Б. п. и полагая , можно добиться инфинитезимальной (бесконечно малой) вариации решения. Отсюда следует, что ур-ние (1) инвариантно относительно бесконечной группы преобразований и в силу Нётер теоремы обладает бесконечным набором интегралов движения (интегрируемо).

Интерес к Б. п. повысился в связи с развитием обратной задачи рассеяния метода (ОЗРМ). Б. п. найдены для большинства нелинейных ур-ний, интегрируемых при помощи ОЗРМ, в т. ч. для Шрёдингера уравнения нелинейного, для Янга-Миллса ур-ний, для интегрируемых вариантов ур-ний Эйнштейна в пустоте. Для Кортевега-де Фриса уравнения Б. п. имеет вид :

С точки зрения ОЗРМ Б. п. представляет собой перестройку решения нелинейного ур-ния, соответствующую появлению в спектре интегрируемого линейного ур-ния дополнит. дискретного собств. значения и добавлению солитона к исходному решению нелинейного ур-ния.

Лит.: Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., M., 1977; Ибрагимов H. X., Группы преобразований в математической физике, M., 1983. В. E. Захаров.

   <<      Предметный указатель      >>