блоховские электроны

БЛОХОВСКИЕ ЭЛЕКТРОНЫ -электроны в периодич. поле кристаллич. решётки, волновые ф-ции к-рых являются блоховскими ф-циями:

Здесь r - пространственная координата, -ф-ция, обладающая периодичностью решётки, к -волновой вектор, s - номер энергетич. зоны (см. Зонная теория ).Волновая ф-ция Б. э. удовлетворяет Блоха теореме

где -базисные векторы кристаллич. решётки, n₁, n₂, n₃ - целые числа, и периодична в обратном пространстве вследствие эквивалентности состояний с волновыми векторами (-вектор обратной решётки).

Волновые ф-ции Б. э. представляют собой решения одночастичного Шрёдингера уравнения с периодич. потенциалом . Это ур-ние при заданном k имеет бесконечный ряд разл. решений, отвечающих бесконечному ряду дискретных значений энергии (индекс s нумерует эти решения). Зависимость энергии Б. э. от волнового вектора k при заданном номере энергетич. зоны s наз. дисперсии законом Б. э. Ф-ции Блоха с различными s и k взаимно ортогональны и подчиняются Блоха теореме. Из ортогональности y _sk с различными s и одинаковыми k следует также ортогональность ф-ций :

где при и О при . , а интегрирование ведётся по одной элементарной ячейке кристалла.

Периодич. потенциал , определяющий свойства Б. э., есть самосогласованный потенциал, включающий в себя взаимодействие между всеми электронами и ионами, образующими кристаллич. решётку. В этом смысле Б. э. представляет собой квазичастицу, т. е. частицу, находящуюся в самосогласованном поле окружающих частиц. Обычно при решении многочастичной задачи о поведении электронов в кристалле сначала разделяют движение ионов и электронов (адиабатическое приближение ),а затем с помощью самосогласованной процедуры (см., напр., Хартри - Фока метод)находят потенциал . T. о., с помощью усреднённого поля многочастичная задача сводится к одноэлектронной.

Свойства Б. э. Квазиимпульс и энергия. Волновые ф-цпи Б. э. обнаруживают сходство с волновыми ф-циями свободных электронов ; их можно представить как промодулированные по амплитуде плоские волны. Роль сохраняющегося импульса р, определяющего поведение волновой ф-ции свободного электрона при трансляции на вектор а: , у Б. э. играет квазиимпульс.

Истинного сохраняющегося импульса у Б. э. нет, т. к. в силовом поле закон сохранения импульса не выполняется - квазиимпульс сохраняется с точностью до вектора обратной решётки. Так, напр., при столкновении двух электронов

где -квазиимпульсы Б. э. до и после столкновения. В состоянии с заданным квазиимпульсом истинный импульс Б. э. может иметь (с разл. вероятностями) бесконечное число значений вида . Это следует из возможности разложения периодич. функции в ряд Фурье, после чего волновая ф-ция Б. э. приобретает вид:

Коэф. разложения a_s суть амплитуды вероятности того, что импульс имеет значение . Тот факт, что коэф. разложения зависит только от суммы , выражает свойство периодичности волновой ф-ции в обратном пространстве.

Энергия Б. э. также периодична в обратном пространстве:

и, кроме того, обладает симметрией, связанной с симметрией кристаллич. решётки. При этом, однако, независимо от наличия или отсутствия в данном кристалле центра инверсии:

Это свойство - следствие симметрии по отношению к обращению времени (см. Симметрия законов физики). Движение Б. э. во внешних полях можно рассматривать (при не слишком сильных внеш. полях) как движение классич. частицы с кинетич. энергией , т. е. как движение классич. частицы со сложным законом дисперсии. Гамильтониан Б. э.:

где V - потенциал внеш. поля. Ур-ния движения при этом имеют вид:

а связь между действующей на Б. э. силой F и ускорением:

где

тензор обратных эффективных масс. Это соотношение аналогично второму закону Ньютона, однако направление силы может не совпадать с направлением ускорения. Такое квазиклассич. описание применимо, когда характерный размер орбиты или длина свободного пробега Б. э. велики по сравнению с его длиной волны де Бройля .При этом скорость Б. э. является периодич. ф-цией и обращается в нуль на границе Бриллюэна зоны.

Лит.: 3айман Дж., Принципы теории твердого тела, пер. с англ., M., 1974; Киттель Ч., Введение в физику твердого тела, пер. с англ., M., 1978; Ашкрофт H., Мермин H., Физика твердого тела, пер. с англ., т. 1-2, M., 1979.

В. M. Bинокур.

   <<      Предметный указатель      >>