бозе-эйнштейна статистика

БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА СТАТИСТИКА (бозе-статистика) - квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с нулевым или целым спином (в единицах ). Предложена в 1924 Ш. Бозе (Sh. Bose) для фотонов и в том же году развита А. Эйнштейном (A. Einstein) применительно к молекулам идеального газа. Характерная особенность Б.- Э. с. заключается в том, что в одном и том же квантовом состоянии может находиться любое число частиц. В. Паули (W. Pauli) доказал (Паули теорема), что тип квантовой статистики однозначно связан со значением спина частиц, так что совокупности частиц с нулевым или целым спином (ядра с чётным числом нуклонов, фотоны, p-мезоны и др.- т. н. бозоны)подчиняются Б--Э. с., а системы частиц с полуцелым спином (электроны, нуклоны, ядра с нечётным числом нуклонов и др.- т. н. фермионы) подчиняются Ферми - Дирака статистике.

При квантовомеханич. описании состояние системы определяется волновой функцией, к-рая в случае тождественных частиц либо симметрична по отношению к перестановкам любой пары частиц (для частиц с целым спином), либо антисимметрична (для частиц с полуцелым спином). Для системы частиц, подчиняющихся Б.- Э. с., состояния описываются симметричными функциями, что является другой эквивалентной формулировкой Б--Э. с. Подобные системы наз. бозе-системами, напр. бозе-газ.

Для идеального бозе-газа в случае статистич. равновесия (при темп-ре выше вырождения температуры)ср. число частиц в состоянии г определяется Бозе - Эйнштейна распределением

где - энергия частицы в состоянии Г (для частиц с импульсом р и массой т, равная ), T - абс. темп-pa, - химический потенциал ,определяемый из след. условия: сумма всех должна быть равна полному числу частиц в системе. Хим. потенциал бозе-газа не может быть положительным, иначе ф-ция распределения частиц по энергиям была бы для нек-рых состояний отрицательной, что невозможно по самому определению Для систем с переменным числом частиц . При , когда все малы, распределение Бозе - Эйнштейна переходит в Болъцмана распределение . При низких темп-pax (ниже темп-ры вырождения бозе-газа) часть частиц переходит в состояние с нулевым импульсом и наступает Бозе - Эйнштейна конденсация.

Ф-ла для следует из Гиббса распределения для идеального квантового газа с уровнями энергии где , согласно Б.- Э. с., могут принимать лишь значения 0, 1, 2, ....

Распределение Бозе - Эйнштейна можно получить и др. методом, если рассматривать статистически равновесное состояние квантового газа как наиболее вероятное состояние и с помощью комбинаторики, учитывая неразличимость частиц, найти термодинамическую вероятность (статистический вес)такого состояния, т.е. число способов реализации данного состояния газа и заданной энергией и числом частиц N. Для больших систем, когда N велико, уровни энергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению при стремлении числа частиц и объёма системы к бесконечности. Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим уровней в ячейке, число предполагается очень большим. Каждой i-й ячейке соответствует средняя энергия и число частиц . Состояние системы определяется набором чисел ,где -сумма по уровням ячейки. Для Б.- Э.с. атомы предполагаются неразличимыми и в каждой ячейке может находиться произвольное число частиц. Поэтому статистич. вес равен числу различных распределений частиц по ячейкам:

он определяет вероятность распределения частиц по ячейкам. Энтропия такого состояния равна Наиболее вероятному состоянию отвечает максимум энтропии (при заданных ) и распределение Бозе - Эйнштейна . Энтропия идеального газа, подчиняющегося Б.- Э. с., равна

Одним из применений Б.- Э. с. является теория теплоёмкости твёрдых тел. Тепловые колебания твердого тела описываются как возбуждения совокупности осцилляторов, соответствующих нормальным колебаниям кристаллич. решётки. Возбуждённые состояния системы осцилляторов можно описывать как идеальный газ квазичастиц - фононов ,подчиняющихся Б--Э. с. На основании этого представления удаётся правильно описать поведение твёрдых тел при низких темп-рах, в частности получить Дебая закон теплоёмкости. К важным приложениям Б.- Э. с. относится также теория излучения чёрного тела, опирающаяся на представление о квантах эл--магн. поля - фотонах. Последние подчиняются Б.- Э. с.: в этом случае , а (- частота излучения). При этом распределение Бозе - Эйнштейна даёт Планка закон излучения для спектрального распределения энергии излучения абс. чёрного тела.

Б.- Э. с. для системы взаимодействующих частиц основана на методе Гиббса для квантовых систем. Она может быть реализована, если известны квантовые уровни системы и поддаётся вычислению статистическая сумма

где суммирование ведётся по всем квантовым уровням системы для состояний, удовлетворяющих условиям квантовой симметрии. Последнее условие определяет тип квантовой статистики. Задача вычисления Z не сводится к простой комбинаторной задаче и очень сложна, если взаимодействие между частицами не мало. Её можно несколько упростить, если выразить гамильтониан системы в представлении вторичного квантования (в представлении чисел заполнения квантовых уровней) через операторы вторичного квантования , удовлетворяющие перестановочным соотношениям Б.- Э. с.

где - дельта-функция Дирака. Тогда требования Б.- Э. с. оказываются выполненными и в статистич. сумме будут учитываться лишь симметричные состояния. Но и в такой псстановке задача вычисления статистич. суммы очень сложна и допускает приближённое решение лишь для слабовзаимодействующих систем (слабонеидеальный бозе-газ).

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Статистическая физика, ч. 1, 3 изд.,М., 1976; Майер Дж., Гепперт-Mайер M., Статистическая механика, пер. с англ., 2 изд., M., 1980, гл. 7; Xуанг К., Статистическая механика, пер с англ., M., 1966; Боголюбов H. H., Лекции по квантовой статике. Избр. труды, т. 2, К., 1970 Д. H. Зубарев.

   <<      Предметный указатель      >>