больцмана статистика

БОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА - статистика систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц (т. е. классич. идеального газа); частный случай статистики Гиббса для классич. идеального газа. Предложена Л. Больцманом (L. Boltzmann) в 1868-71. В более общем смысле Б. с.- предельный случай квантовых статистик идеальных газов (Бозе - Эйнштейна статистики и Ферми - Дирака статистики)для газа малой плотности, когда можно пренебречь квантовым вырождением газа, но следует учитывать квантование уровней энергии частиц.

Основа Б. с.- распределение частиц идеального газа по состояниям. Поскольку частицы не взаимодействуют между собой, гамильтониан системы можно представить в виде суммы гамильтонианов отд. частиц и рассматривать состояния не в фазовом пространстве всех частиц, как а статистич. механике Гиббса, а в фазовом пространстве координат и импульсов одной частицы. Это фазовое пространство разбивается на большое число малых ячеек с таким фазовым объёмом , чтобы каждая из них включала много близких состояний. Это возможно, т. к. уровни энергии макроскопич. системы расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению с увеличением числа частиц N и объёма тела V (отношение N/V принимается постоянным). Состояние одной частицы соответствует определ. ячейке фазового пространства, а состояние всей системы из N частиц - набору чисел N_i, характеризующему распределение состояний частиц по ячейкам G_i. Фазовый объём ячеек выражается в единицах h³, где h - Планка постоянная ,а число 3 соответствует числу степеней свободы одной частицы. Согласно квантовой механике, координату и импульс частицы можно определить лишь с точностью, допускаемой соотношением неопределённостей, отсюда h³ - миним. размер фазового объёма одной частицы (до создания квантовой механики единица фазового объёма выбиралась произвольно). Объём G_i, выраженный в единицах h³, имеет смысл максимально возможного числа макроскопич. состояний в ячейке. В Б. с. предполагается, что частицы распределяются по разл. состояниям совершенно независимо друг от друга и что они различимы между собой. Число различных возможных микроскопич. состояний, соответствующих заданному макроскопич. состоянию газа с энергией и числом частиц N (статистический вес макросостояния, по Больцману), определяется числом разл. способов, к-рыми можно распределить N частиц по состояниям в ячейках размером при частиц в каждой ячейке:

где учитывается, что перестановка частиц в пределах каждой ячейки не меняет состояния. При правильном больцмановском подсчёте статистич. веса надо, однако, учитывать, что перестановки тождественных частиц не меняют состояния, и поэтому следует уменьшить в раз:

Это правило подсчёта состояний, предложенное Гиббсом, лежит в основе Б. с. При таком определении статистич. веса для энтропии системы S получим:

В основе статистической физики лежит предположение, что все микроскопич. состояния, реализующие данное макроскопич. состояние, равновероятны, поэтому вероятность макроскопич. состояния пропорциональна величине статистич. веса W. В статистич. равновесии энтропия максимальна при заданной энергии и числе частиц, что соответствует наиб. вероятному распределению. Его, следовательно, можно найти из условия экстремума S (или W)при фиксированных и N. Из этого условия следует Больцмана распределение для ср. чисел заполнения i-го состояния с энергией :

где - химический потенциал, T - абс. темп-pa. Энтропия идеального газа, подчиняющегося Б. с., равна

т. к.

Б. с. применима к разреженным атомным и молекулярным газам и плазме, но для плотных газов и плазмы, когда существенно взаимодействие между частицами, надо применять не Б. с., а статистику Гиббса, т. е. Гиббса распределение. Б. с. применима к электронам в невырожденных полупроводниках, для металлов надо учитывать вырождение и применять статистику Ферми - Дирака.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Статистическая физика, ч. 1, 3 изд., M., 1976, p 37, 38; Майер Дж., Гепперт-Майер M., Статистическая механика, пер. с англ., 2 изд., M., 1980, гл. 7; Зоммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, пер. с нем., M., 1955, p 29.

Д. H. Зубарев.

   <<      Предметный указатель      >>