больцмана н-теорёма

БОЛЬЦМАНА Н-ТЕОРЁМА - одно из важных положений кинетич. теории газов, согласно к-рому для изолиров. системы в неравновесном состоянии существует Н-функция Больцмана, точнее - функционал, зависящий от ф-ции распределения частиц по скоростям и координатам и монотонно убывающий со временем. Б. Н-т. установлена Л. Больцманом (L. Boltzmann) в 1872. Я-функция равна энтропии газа с обратным знаком, делённой на k; следовательно, Б. Н-т. выражает закон возрастания энтропии для изолиров. системы. В равновесном состоянии Н-функция постоянна.

Н-функция Больцмана для газа равна

где - ф-ция распределения частиц по скоростям и координатам, удовлетворяющая кинетическому уравнению Больцмана, h(x,t) - пространственная плотность Н-функции, имеющая смысл локальной плотности энтропии с обратным знаком. Скорость изменения Н-функции со временем равна

Согласно Б. H-т. , для изолиров. системы , что следует из равенства (2), если в него подставить из кинетич. ур-ния Больцмана и симметризовать полученное выражение относительно ф-ций распределения сталкивающихся частиц при прямом и обратном соударении. В общем случае для вывода Б. H-T. нужно использовать детального равновесия принцип.

В пространственно-неоднородных огранич. системах необходимы граничные условия для ф-ции распределения на поверхности системы. В этом случае справедливо ур-ние баланса энтропии:

где S - плотность потока энтропии, G - локальное производство энтропии с обратным знаком. Следовательно, Б. H-т. есть следствие положительности производства энтропии в неравновесной термодинамике, т. к. для изолиров. системы суммарный поток энтропии через поверхность равен нулю. Б. H-т. справедлива для всех форм кинетич. ур-ния Больцмана.

Против Б. H-т. был выдвинут ряд возражений: 1) парадокс обратимости Й. Лошмидта (J. Loschmidt, 1876); 2) парадокс возврата Э. Цермело (E. Zermelo, 1896). Лошмидт заметил, что каждому движению молекул газа с убыванием H соответствует движение с увеличением H. Парадокс возврата основан на Пуанкаре теореме о возвратах. В ответ на эти возражения Больцман выдвинул статистич. толкование Б. Н-т., поскольку она не является следствием одних лишь ур-ний механики, а использует предположение о "молекулярном хаосе", имеющее вероятностный характер. Согласно Больцману, энтропия, а следовательно и Н-функция, есть мера вероятности пребывания системы в неравновесном состоянии: убывание Н означает стремление системы к переходу из менее вероятного в более вероятное состояние .

Более совр. вывод кинетич. ур-ния Больцмана позволяет лучше понять причину появления необратимости в ур-нии Больцмана, несмотря на то, что оно выводится из обратимых ур-ний механики. Необратимость (и убывание Н-функции) связывается с отбором таких решений ур-ния Лиувилля, к-рые соответствуют сокращённому, неполному описанию неравновесного состояния системы с помощью одночастичной ф-ции распределения и заданию граничного условия для корре-ляц. ф-ций, имеющего вероятностный характер в отдалённом прошлом (принцип ослабления корреляций; см. Боголюбова уравнения).

Убывание Н-функции (рост энтропии) соответствует возрастанию хаоса в системе, что связано с неустойчивостью фазовых траекторий мн. механич. систем относительно изменения нач. условий: малые изменения нач. условий приводят к большим отклонениям фазовых траекторий (эффект перемешивания). Перемешивание приводит к стохастизации, в динамич. теории траектории становятся непредсказуемыми. Для макроскопич. систем в обычных условиях этот эффект не наблюдается, т. к. макроскопич. наблюдение подразумевает нек-рое сглаживание (определяется лишь небольшое число параметров системы, гораздо меньше, чем число механич. нач. условий).

Лит.: 3оммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, пер. с нем., M., 1955, p 42, Ферцигер Дж.. Капер Г., Математическая теория процессов переноса в газах, пер. с англ., M., 1976, гл. 4; Боголюбов H. H., Избр. труды по статистической физике, M., 1979, с 75; Лифшиц Е. M., Питаевский Л. П., Физическая кинетика, M., 1979, гл. 1. Д. H. Зубарев.

   <<      Предметный указатель      >>