вариационное исчисление

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, обобщающий элементарную теорию экстремума ф-ций. В В. и. речь идёт об экстремуме функционалов - величин, зависящих от выбора одной или неск. ф-ций , к-рые играют для функционала роль аргументов. Аналогично тому, как в задаче об экстремуме ф-ции необходимо указать область G изменения её аргументов, для функционала следует задать класс допустимых функциональных аргументов (напр., класс ф-ций, непрерывных вместе с первыми производными в области D и удовлетворяющих нек-рым условиям на границе D). Если задача об экстремуме непрерывной ф-ции всегда имеет решение (такая ф-ция достигает экстремальных значений внутри G или на её границе), то существование экстремума функционала для данного класса функциональных аргументов не гарантировано априори и требует каждый раз особого исследования. Одну из первых задач В. и. сформулировал И. Бернулли (J. Bernoulli) в 1696, окончательно В. и. сформировалось в 18 в. благодаря работам Л. Эйлера (L. Euler).

Необходимым условием экстремума ф-ции f(x) в точке является равенство нулю её производной по любому направлению : , т. е. .

Малому смещению аргумента для функционалов соответствует вариация (отсюда назв. В. и.) ф-ций: , где -ф-ции из допустимого класса, обращающиеся в нуль на границе D. Аналогом производной по направлению служит первая вариация функционала:

где определяемая последней ф-лой вариационная, или функциональная производная является аналогом градиента . Необходимое условие экстремума функционала, , следует из осн. леммы В. и.: если для всех ф-ций из допустимого класса, обращающихся в нуль на границе D,

то непрерывная ф-ция

На практике функционал F задаётся в виде интеграла по области D от нек-рой комбинации ф-ций и их производных; в простейших случаях

Вычисление функциональной производной приводит к Эйлера-Лагранжа уравнениям - системе дифференц. ур-ний

с соответствующими граничными условиями.

Решения этой системы наз. экстремалями функционала F. Экстремаль соответствует минимуму F при выполнении условия Лежандра [обобщающего требование неотрицательности квадратичной формы , гарантирующего минимум ф-ции f (x)]. Согласно этому условию, всюду на экстремали должна быть неотрицательна квадратичная форма с коэф. (в простейшем случае одномерной области D, когда

До сих пор шла речь о вариац. задачах, в к-рых допустимый функциональный аргумент подчинялся лишь граничным условиям. В более общей постановке задачи требуется найти экстремали функционала F с дополнит. условиями, налагаемыми на функциональные аргументы во всей области D их определения. Эти условия могут быть интегральными:

или алгебраическими: . В обоих случаях задача сводится к обычной введением множителей Лагранжа. В первом случае переходят к новому функционалу , решают ур-ния Эйлера - Лагранжа, а множитель находят из условия K=0 на экстремали. Во втором случае вводят новый функционал

и неизвестную ф-цию находят из ур-ний Эйлера - Лагранжа.

В. и. используют в разл. областях физики. Фактически все законы, формулируемые обычно в локальном дифференц. виде, можно сформулировать на вариац. языке. Фундам. примером является наименьшего действия принцип в классич. механике. Здесь роль переменной х играет время t, меняющееся в заданном интервале [а, b], функциональными аргументами являются обобщённые координаты q_j(t), а называемый действием функционал задаётся

Лагранжа функцией . Согласно принципу наименьшего действия, движение с заданными граничными условиями для осуществляется по экстремали функционала S. В физике используют также др. вариац. принципы.

В задаче о движении материальной точки во внеш. поле можно интересоваться только формой траектории без детального знания временной зависимости q(t). В этом случае используется принцип минимизации укороченного действия, или принцип Мопертюи: при задании потенц. энергии U, полной энергии E, начальных и конечных точек траектории вся траектория определяется минимизацией функционала

где dl - элемент длины траектории, a q_i и q_f - начальная и конечная её точки. Принцип Мопертюи является следствием принципа наименьшего действия и допускает обобщение на сложные механич. системы.

Аналогом принципа Мопертюи в оптике служит Ферма принцип наименьшего времени: в среде с переменным показателем преломления п траектория луча света такова, что интеграл минимален. Иначе говоря, луч света избирает себе траекторию, для прохождения к-рой требуется миним. время.

Последний пример-вариац. принцип Ритца в квантовой механике. Задачу о решении ур-ния Шрёдингера можно сформулировать как задачу о минимизации функционала при дополнит. условии (здесь q -набор обобщённых координат). Принцип Ритца - незаменимое орудие расчёта сложных атомов и ядер, когда точное решение ур-ния Шрёдингера невозможно и задачу решают минимизацией функционала J на нек-ром классе пробных ф-ций.

Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., т. 1, 3 изд., M.- Л., 1951; Лаврентьев M. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., M.- Л., 1950: Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., M., 1979. А. В. Смилга.

   <<      Предметный указатель      >>