вектор состояния

ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ (амплитуда состояния; символ , предложен П. A. M. Дираком) - основное понятие квантовой механики, матем. объект, задание к-рого в определ. момент времени полностью определяет состояние квантовомеханич. системы и, при известных взаимодействиях, её дальнейшую эволюцию. Тот факт, что объект, описывающий состояние в квантовой механике, в матем. отношении должен представлять собой вектор, вытекает из осн. принципа квантовой механики - принципа суперпозиции состояний (см. Суперпозиции принцип ).Из этого принципа следует также, что совокупность В. с. к--л. физ. системы образует комплексное векторное пространство, к-рое может быть конечномерным или бесконечномерным в зависимости от того, содержит ли оно конечное или бесконечное число линейно независимых B. с. Исходя из определения скалярного произведения B. с., можно каждому вектору этого пространства взаимно однозначно сопоставить сопряжённый (дуальный) ему вектор , связанный с след. соотношениями: если , где с₁, с₂ - произвольные комплексные числа, то (* означает комплексное сопряжение). По терминологии, предложенной Дираком, вектор наз. "кет", а сопряжённый ему вектор - "бра", что отвечает разбиению англ. слова bracket (скобка) на две части. Если координаты вектора "кет" в к--л. базисе представлять в виде столбца , то координаты вектора "бра" в сопряжённом базисе могут быть представлены строкой из комплексно-сопряжённых чисел: (а₁^*, а₂^*, ...), а скалярное произведение двух В. с. и , обозначаемое (причём ), получается по правилам матричного умножения (см. Матрица)путём умножения строки, отвечающей , на столбец, отвечающий . Вследствие взаимно однозначного соответствия между векторами "кет" и "бра" любое состояние динамич. системы может быть описано с помощью как В. с. "кет", так и В. с. "бра".

Скалярное произведение В. с. само на себя наз. нормой . Оно представляет собой обобщение квадрата длины обычного вектора. В квантовой механике постулируется, что В. с. динамич. системы обладают конечной неотрицат. нормой: . (Для В. с., отвечающих "нефизическим" переменным, это требование может быть ослаблено; см. Индефинитная метрика.)

В пространстве B.с. имеет смысл понятие ортогональности, к-рое является обобщением соответствующего понятия для обычных векторов: два B.с. наз. ортогональными друг другу, если =0.

Для задания произвольного В. с. динамич. системы используется в качестве ортогонального нормированного (ортонормированного) базиса совокупность В. с., отвечающих полному набору измеряемых физ. величин для данной системы, т. е. если величины F, G, ..., Н составляют полный набор, а - соответствующие им эрмитовы операторы, то в качестве базиса используются собственные B.с.

где F, G, ..., H (обозначим их набор для краткости одной буквой п) - собственные значения операторов Если п образуют дискретный спектр, то соответствующие им собственные B.с. могут быть нормированы на единицу:

здесь - символ Кронекера: =0, если и =1, если п - п' (т. е. если F = F', G = G' ,..., H = H'). Произвольный В. с. динамич. системы может быть представлен в виде разложения:

где с_п - координаты B.C. в базисе-представляют собой ф-цию переменных п,

Ф-ция наз. волновой функцией в представлении величин п. Квадрат модуля волновой ф-ции , согласно статистич. интерпретации квантовой механики, равен вероятности того, что для системы, находящейся в состоянии, описываемом В. с. , набор определяющих состояние величин равен п. T. о., волновая ф-ция представляет собой амплитуду вероятности. Поскольку задание волновой ф-ции полностью определяет В. с. динамич. системы, можно вычислить вероятности возможных значений К_i любой другой физ. величины К, не входящей в полный набор (п). Для этого B.с. должен быть разложен по B.с., отвечающим другому полному набору величин, включающему величину К (см. Представлений теория).

Если собств. значения п (или нек-рые из них) образуют сплошной спектр, суммирование в (3) заменяется интегрированием по соответствующим величинам, а условие (2) нормировки собственных В. с. на единицу заменяется условием нормировки на дельта-функцию:

Квадрат модуля волновой ф-ции в этом случае равен плотности вероятности данного состояния. Вероятность того, что для системы с B.с. величины (п)будут обнаружены в интервалах n+dn, равна:

Формально условие (2') противоречит постулату квантовой механики, требующему существования конечной нормы В. с. Это связано с тем, что В. с., отвечающий определ. значению физ. величины, имеющей непрерывный спектр, является матем. идеализацией. В действительности любая физ. величина F, принимающая непрерывные значения, может быть определена только с нек-рой степенью точности , зависящей от разрешения прибора. Поэтому "физические" В. с., отвечающие заданному (среднему) значению измеренной величины, представляют собой по существу волновой пакет:

[В более общем случае суперпозиция В. с. (4) может содержать коэффициенты с (F'), плавно меняющиеся в интервале .] При условии нормировки (2'): норма В. с. конечна: при любом конечном . T. о., "физические" В. с. (4) удовлетворяют требованию существования конечной нормы. Однако в матем. отношении использование их представляет ряд неудобств. Поэтому в аппарате квантовой механики, как правило, используют "монохроматические" В. с. с условием нормировки (2'), имея в виду, что из них всегда можно составить "физические" В. с. с конечной нормой.

Для динамич. системы, состоящей из N частиц, полным набором измеряемых величин может служить совокупность пространственных координат всех частиц

вместе с величинами, определяющими внутр. степени свободы частиц (напр., спинами) . Координаты В. с. в этом базисе

наз. волновой ф-цией в конфигурационном представлении. Условие существования конечной нормы В. с.

X

означает, что В. с. принадлежат гилъбертовому пространству. Использование в матем. аппарате квантовой механики собственных В. с. с бесконечной нормой (2') для величин, имеющих непрерывный спектр, требует формального расширения пространства Гильберта путём включения в него также В. с. с бесконечной нормой при условии, что волновые пакеты (4), составленные из суперпозиции таких B.с., обладают конечной нормой.

В квантовой теории поля В. с. часто задаётся в чисел заполнения представлении. В. с. системы частиц с импульсами и др. квантовыми числами получается (с точностью до нормирующего множителя) в результате действия операторов рождения частиц на В. с. вакуума :

В случае, когда число частиц в системе может изменяться (т. е. в результате взаимодействий происходит рождение или уничтожение частиц), для задания B.с. используется также Фока представление (в к-ром число частиц в системе не фиксировано).

Лит.: Дирак П. A. M., Принципы квантовой механики, пер. с англ., [2 изд.], M., 1979; Mессиа А., Квантовая механика, пер. с франц., т. 1-2, M., 1978-79. С. С. Герштейн.

   <<      Предметный указатель      >>