Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
СГУЩЕНИЕ ТЕМНОТЫ
Некоторые физики полагают, что загадочное темное вещество Вселенной состоит из огромных частиц размером в световой год или даже больше. Оказавшись в их окружении, обычное вещество подобно мыши, снующей под ногами динозавров. Далее...

Тёмная материя

вектор состояния

ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ (амплитуда состояния; символ 1119913-205.jpg , предложен П. A. M. Дираком) - основное понятие квантовой механики, матем. объект, задание к-рого в определ. момент времени полностью определяет состояние квантовомеханич. системы и, при известных взаимодействиях, её дальнейшую эволюцию. Тот факт, что объект, описывающий состояние в квантовой механике, в матем. отношении должен представлять собой вектор, вытекает из осн. принципа квантовой механики - принципа суперпозиции состояний (см. Суперпозиции принцип ).Из этого принципа следует также, что совокупность В. с. к--л. физ. системы образует комплексное векторное пространство, к-рое может быть конечномерным или бесконечномерным в зависимости от того, содержит ли оно конечное или бесконечное число линейно независимых B. с. Исходя из определения скалярного произведения B. с., можно каждому вектору 1119913-206.jpg этого пространства взаимно однозначно сопоставить сопряжённый (дуальный) ему вектор 1119913-207.jpg, связанный с 1119913-208.jpg след. соотношениями: если 1119913-209.jpg , где с1, с2 - произвольные комплексные числа, то1119913-210.jpg (* означает комплексное сопряжение). По терминологии, предложенной Дираком, вектор 1119913-211.jpg наз. "кет", а сопряжённый ему вектор 1119913-212.jpg - "бра", что отвечает разбиению англ. слова bracket (скобка) на две части. Если координаты вектора "кет"1119913-213.jpg в к--л. базисе представлять в виде столбца 1119913-214.jpg, то координаты вектора "бра"1119913-215.jpg в сопряжённом базисе могут быть представлены строкой из комплексно-сопряжённых чисел: (а1*, а2*, ...), а скалярное произведение двух В. с. 1119913-216.jpg и 1119913-217.jpg, обозначаемое 1119913-218.jpg (причём 1119913-219.jpg), получается по правилам матричного умножения (см. Матрица)путём умножения строки, отвечающей 1119913-220.jpg, на столбец, отвечающий 1119913-221.jpg. Вследствие взаимно однозначного соответствия между векторами "кет" и "бра" любое состояние динамич. системы может быть описано с помощью как В. с. "кет", так и В. с. "бра".

Скалярное произведение В. с. 1119913-222.jpg само на себя наз. нормой 1119913-223.jpg. Оно представляет собой обобщение квадрата длины обычного вектора. В квантовой механике постулируется, что В. с. динамич. системы обладают конечной неотрицат. нормой: 1119913-224.jpg . (Для В. с., отвечающих "нефизическим" переменным, это требование может быть ослаблено; см. Индефинитная метрика.)

В пространстве B.с. имеет смысл понятие ортогональности, к-рое является обобщением соответствующего понятия для обычных векторов: два B.с. 1119913-225.jpg наз. ортогональными друг другу, если 1119913-226.jpg =0.

Для задания произвольного В. с. динамич. системы используется в качестве ортогонального нормированного (ортонормированного) базиса совокупность В. с., отвечающих полному набору измеряемых физ. величин для данной системы, т. е. если величины F, G, ..., Н составляют полный набор, а 1119913-227.jpg - соответствующие им эрмитовы операторы, то в качестве базиса используются собственные B.с.

1119913-228.jpg

где F, G, ..., H (обозначим их набор для краткости одной буквой п) - собственные значения операторов 1119913-229.jpg Если п образуют дискретный спектр, то соответствующие им собственные B.с. могут быть нормированы на единицу:

1119913-230.jpg

здесь 1119913-231.jpg - символ Кронекера: 1119913-232.jpg=0, если 1119913-233.jpg и 1119913-234.jpg=1, если п - п' (т. е. если F = F', G = G' ,..., H = H'). Произвольный В. с. динамич. системы 1119913-235.jpgможет быть представлен в виде разложения:

1119913-236.jpg

где сп - координаты B.C.1119913-237.jpg в базисе1119913-238.jpg-представляют собой ф-цию переменных п,

1119913-239.jpg

Ф-ция 1119913-240.jpg наз. волновой функцией в представлении величин п. Квадрат модуля волновой ф-ции 1119913-241.jpg, согласно статистич. интерпретации квантовой механики, равен вероятности того, что для системы, находящейся в состоянии, описываемом В. с. 1119913-242.jpg, набор определяющих состояние величин равен п. T. о., волновая ф-ция представляет собой амплитуду вероятности. Поскольку задание волновой ф-ции полностью определяет В. с. 1119913-243.jpg динамич. системы, можно вычислить вероятности возможных значений Кi любой другой физ. величины К, не входящей в полный набор (п). Для этого B.с. 1119913-244.jpg должен быть разложен по B.с., отвечающим другому полному набору величин, включающему величину К (см. Представлений теория).

Если собств. значения п (или нек-рые из них) образуют сплошной спектр, суммирование в (3) заменяется интегрированием по соответствующим величинам, а условие (2) нормировки собственных В. с. на единицу заменяется условием нормировки на дельта-функцию:

1119913-245.jpg

Квадрат модуля волновой ф-ции в этом случае равен плотности вероятности данного состояния. Вероятность 1119913-246.jpg того, что для системы с B.с. 1119913-247.jpg величины (п)будут обнаружены в интервалах n+dn, равна:

1119913-248.jpg

Формально условие (2') противоречит постулату квантовой механики, требующему существования конечной нормы В. с. Это связано с тем, что В. с., отвечающий определ. значению физ. величины, имеющей непрерывный спектр, является матем. идеализацией. В действительности любая физ. величина F, принимающая непрерывные значения, может быть определена только с нек-рой степенью точности 1119913-249.jpg, зависящей от разрешения прибора. Поэтому "физические" В. с., отвечающие заданному (среднему) значению измеренной величины1119913-250.jpg, представляют собой по существу волновой пакет:

1119913-251.jpg

[В более общем случае суперпозиция В. с. (4) может содержать коэффициенты с (F'), плавно меняющиеся в интервале 1119913-252.jpg .] При условии нормировки (2'): 1119913-253.jpg норма В. с. 1119913-254.jpg конечна: 1119913-255.jpg при любом конечном 1119913-256.jpg. T. о., "физические" В. с. (4) удовлетворяют требованию существования конечной нормы. Однако в матем. отношении использование их представляет ряд неудобств. Поэтому в аппарате квантовой механики, как правило, используют "монохроматические" В. с. с условием нормировки (2'), имея в виду, что из них всегда можно составить "физические" В. с. с конечной нормой.

Для динамич. системы, состоящей из N частиц, полным набором измеряемых величин может служить совокупность пространственных координат всех частиц

1119913-257.jpg вместе с величинами, определяющими внутр. степени свободы частиц (напр., спинами) 1119913-258.jpg . Координаты В. с. в этом базисе

1119913-259.jpg

наз. волновой ф-цией в конфигурационном представлении. Условие существования конечной нормы В. с.

1119913-260.jpg

X1119913-261.jpg

означает, что В. с. принадлежат гилъбертовому пространству. Использование в матем. аппарате квантовой механики собственных В. с. с бесконечной нормой (2') для величин, имеющих непрерывный спектр, требует формального расширения пространства Гильберта путём включения в него также В. с. с бесконечной нормой при условии, что волновые пакеты (4), составленные из суперпозиции таких B.с., обладают конечной нормой.

В квантовой теории поля В. с. часто задаётся в чисел заполнения представлении. В. с. системы частиц с импульсами 1119913-262.jpg и др. квантовыми числами1119913-263.jpg1119913-264.jpg получается (с точностью до нормирующего множителя) в результате действия операторов рождения частиц 1119913-265.jpg на В. с. вакуума 1119913-266.jpg:

1119913-267.jpg

В случае, когда число частиц в системе может изменяться (т. е. в результате взаимодействий происходит рождение или уничтожение частиц), для задания B.с. используется также Фока представление (в к-ром число частиц в системе не фиксировано).

Лит.: Дирак П. A. M., Принципы квантовой механики, пер. с англ., [2 изд.], M., 1979; Mессиа А., Квантовая механика, пер. с франц., т. 1-2, M., 1978-79. С. С. Герштейн.

  Предметный указатель