Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
МОНИТОРИНГ ВУЛКАНОВ
Новая лазерная система позволит заблаговременно предсказать активизацию вулканов.
Современные сейсмометры регистрируют подземные толчки и другие движения земной коры,но их показания недостаточно точны. Более перспективный метод предсказания извержений основан на контроле соотношения изотопов углерода в углекислом газе. Далее...

Извержение вулкана

векторная алгебра

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел математики, в к-ром изучаются простейшие операции над 3-мерными векторами. Исчисление, позволяющее оперировать геом. величинами по правилам алгебры, возникло в 19 в. и было окончательно оформлено в работах У. P. Гамильтона (W. R. Hamilton) и Дж. У. Гиббса (J. W. Gibbs). Направленный отрезок а, наз. вектором, характеризуется длиной (модулем) 1119913-268.jpg и направлением. Сумма двух векторов 1119913-269.jpg определяется по правилу треугольника (параллелограмма): вектор 1119913-270.jpg откладывается от конца вектора1119913-271.jpg, и сумма1119913-272.jpg определяется как вектор, соединяющий начало1119913-273.jpg с концом1119913-274.jpg. Если1119913-275.jpg - действит. число, то вектор1119913-276.jpgполучается из вектора1119913-277.jpgрастяжением в 1119913-278.jpg раз (при отрицат. 1119913-279.jpg происходит растяжение в 1119913-280.jpg раз и изменение направления на противоположное). Сумма векторов не меняется при перестановке слагаемых, т. е. сложение коммутативно. Кроме того, оно обладает свойством ассоциативности:1119913-281.jpg1119913-282.jpg.

Для сложения векторов и умножения на число справедливы обычные правила раскрытия скобок (как при операциях с числами). Множество всех векторов пространства с введёнными операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство.

Скалярное произведение двух векторов определяется как число 1119913-283.jpg , где а, b - длины соответств. векторов, а 1119913-284.jpg- угол между ними. Векторное произведение [аb], или 1119913-285.jpg, определяется как вектор, имеющий длину 1119913-286.jpg, перпендикулярный к плоскости векторов 1119913-287.jpg и направленный так, чтобы тройка1119913-288.jpg была правой. Векторы правой (левой) тройки расположены по отношению друг к другу так же, как большой, указат. и средний пальцы правой (левой) руки. Правая тройка переходит в левую при обращении направления одного или всех векторов тройки.

При перестановке сомножителей скалярное произведение не меняется, а векторное меняет знак. Скалярное произведение обращается в нуль для перпендикулярных (ортогональных) векторов, а векторное - для параллельных (коллинеарных). Имеет место свойство линейности скалярного и векторного произведений по одному из аргументов (любому):

1119913-289.jpg

Ясный геом. смысл имеет смешанное произведение 1119913-290.jpg . Это число, равное объёму параллелепипеда, построенного на тройке векторов a, b, с и взятое со знаком плюс или минус в зависимости от того, является ли эта тройка правой или левой. Смешанное произведение не меняется при циклич. (круговой) перестановке его сомножителей: 1119913-291.jpg. Оно обращается в нуль, если эти векторы лежат в одной плоскости (компланарны). Др. полезные формулы:

1119913-292.jpg

Удобно задавать произвольный вектор а его компонентами, т. е. проекциями на оси декартовой системы координат, 1119913-293.jpg . Если el, e2, е3 - векторы единичной длины, направленные вдоль этих осей (орты), то 1119913-294.jpg. Операции над векторами выражаются через их компоненты след. ф-лами:

1119913-295.jpg

1119913-296.jpg

В правых частях последних двух ф-л стоят определители соответств. матриц.

Лит.: Кочин H. E., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 9 изд., M., 1965; Tамм И. Е., Основы теории электричества, 9 изд., M., 1976. M. Б. Менский.

  Предметный указатель