МОНИТОРИНГ ВУЛКАНОВСовременные сейсмометры регистрируют подземные толчки и другие движения земной коры,но их показания недостаточно точны. Более перспективный метод предсказания извержений основан на контроле соотношения изотопов углерода в углекислом газе. Далее... |
|
векторная алгебра
ВЕКТОРНАЯ
АЛГЕБРА
- раздел математики, в к-ром изучаются простейшие операции над 3-мерными
векторами. Исчисление, позволяющее оперировать геом. величинами по правилам
алгебры, возникло в 19 в. и было окончательно оформлено в работах У. P. Гамильтона
(W. R. Hamilton) и Дж. У. Гиббса (J. W. Gibbs). Направленный отрезок а, наз.
вектором, характеризуется длиной (модулем) 
и направлением. Сумма двух
векторов 
определяется по правилу треугольника (параллелограмма): вектор 
откладывается от конца вектора
,
и сумма
определяется
как вектор, соединяющий начало
с концом
.
Если
- действит.
число, то вектор
получается
из вектора
растяжением
в 
раз (при
отрицат. 
происходит растяжение в 
раз и изменение направления на противоположное). Сумма векторов не меняется
при перестановке слагаемых, т. е. сложение коммутативно. Кроме того, оно обладает
свойством ассоциативности:
.
Для сложения векторов и
умножения на число справедливы обычные правила раскрытия скобок (как при операциях
с числами). Множество всех векторов пространства с введёнными операциями сложения
и умножения на число образует векторное пространство.
Скалярное произведение
двух векторов определяется как число 
, где а, b - длины соответств. векторов, а 
-
угол между ними. Векторное произведение [аb], или 
,
определяется как вектор, имеющий длину 
,
перпендикулярный к плоскости векторов 
и направленный так, чтобы тройка
была правой. Векторы правой (левой) тройки расположены по отношению друг к другу
так же, как большой, указат. и средний пальцы правой (левой) руки. Правая тройка
переходит в левую при обращении направления одного или всех векторов тройки.
При перестановке сомножителей
скалярное произведение не меняется, а векторное меняет знак. Скалярное произведение
обращается в нуль для перпендикулярных (ортогональных) векторов, а векторное
- для параллельных (коллинеарных). Имеет место свойство линейности скалярного
и векторного произведений по одному из аргументов (любому):
Ясный геом. смысл имеет
смешанное произведение 
. Это число, равное объёму параллелепипеда, построенного на тройке векторов
a, b, с и взятое со знаком плюс или минус в зависимости от того,
является ли эта тройка правой или левой. Смешанное произведение не меняется
при циклич. (круговой) перестановке его сомножителей: 
.
Оно обращается в нуль, если эти векторы лежат в одной плоскости (компланарны).
Др. полезные формулы:
Удобно задавать произвольный
вектор а его компонентами, т. е. проекциями на оси декартовой системы координат,
. Если el,
e2, е3 - векторы единичной длины, направленные вдоль этих
осей (орты), то 
.
Операции над векторами выражаются через их компоненты след. ф-лами:
В правых частях последних
двух ф-л стоят определители соответств. матриц.
Лит.: Кочин H. E., Векторное
исчисление и начала тензорного исчисления, 9 изд., M., 1965; Tамм И. Е., Основы
теории электричества, 9 изд., M., 1976. M. Б. Менский.
webmaster@femto.com.ua