векторное пространство

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (линейное пространство) - множество элементов, наз. векторами, для к-рых определены операции сложения и умножения на число. Простейший, но важный пример - совокупность векторов а, b, с, ... обычного 3-мерного пространства. Каждый такой вектор - направленный отрезок, задаваемый тремя числами: ; числа x₁, x₂, x₃ наз. координатами вектора. При умножении вектора на вещественное число соответствующий отрезок, сохраняя направление, растягивается в раз: . Сумма двух векторов находится по правилу параллелограмма; если и , то . Паре векторов а и b сопоставляют также скалярное произведение (см. Векторная алгебра ).Непосредств. обобщением 3-мерного пространства является n-мерное евклидово пространство .Его элементы - упорядоченные наборы вещественных чисел, напр. . Сложение и умножение векторов на число определены ф-лами , а скалярное произведение - ф-лой . Примером комплексного бесконечномерного В. п. может служить совокупность комплексных ф-ций f, заданных на всей оси R¹ и квадратично суммируемых (т. е. имеющих конечный интеграл . Многие классы ф-ций, напр, полиномы заданного порядка, ф-ции непрерывные, дифференцируемые, интегрируемые, аналитические и т. п., также образуют бесконечномерные В. п.

В каждом В. п., помимо операций сложения и умножения на число, обычно имеются те или иные дополнит. операции и структуры (напр., определено скалярное произведение). Если же не уточняют природы элементов В. п. и не предполагают в нём никаких дополнит. свойств, то В. п. наз. абстрактным. Абстрактное В. п. L задают с помощью след. аксиом: 1) любой паре элементов х и у из L сопоставлен единств. элемент z, наз. их суммой z=x+y и принадлежащий L; 2) для любого числа и любого элемента х из L определён элемент z, наз. их произведением и принадлежащий L; 3) операции сложения и умножения на число являются ассоциативными и дистрибутивными. Сложение допускает обратную операцию, т. е. для любых х и у из L существует единств. элемент из L такой, чтоy. Кроме того, имеют место ф-лы , . Если все числа вещественны (комплексны), говорят о вещественном (комплексном) В. п.; множество чисел наз. полем скаляров L. Понятие В. п. можно ввести и для произвольного поля, напр. поля кватернионов.

Если x₁, x₂, ..., x_S - элементы В. п. L, то выражение вида наз. их линейной комбинацией; совокупность всех линейных комбинаций элементов подмножества S из L наз. линейной оболочкой S. Векторы x₁, х₂, ..., x_S из L наз. линейно независимыми, если условие( - любые элементы поля скаляров) может выполняться только при . Бесконечная система векторов наз. линейно независимой, если любая её конечная часть является линейно независимой. Множество элементов x₁, x₂, ... подмножества S из L наз. системой образующих S, если любой вектор х из S можно представить в виде линейной комбинации этих элементов. Линейно независимая система образующих S наз. базисом S, если разложение любого элемента S по этой системе единственно. Базис, элементы к-рого к--л. образом параметризованы, наз. системой координат в S. Базис В. п. всегда существует, хотя и не определяется однозначно. Если базис состоит из конечного числа п элементов, то В. п. наз. n-мерным (конечномерным); если базис - бесконечное множество, то В. п. наз. бесконечномерным. Выделяют также счётно-мерные В. п., у к-рых имеется счётный базис.

Подмножества В. п. L, замкнутые относительно его операций, наз. подпространствами L. По любому подпространству S можно построить новое В. п. L/S, наз. фактор-пространством L по S: каждый его элемент есть множество векторов из L, различающихся между собой на элемент из S. Размерность L/S наз. коразмерностью подпространства S в L; если размерности L и S равны соответственно п и k, то коразмерность S в L равна n-k. Если J - произвольное множество индексов i и S_i - семейство подпространств L, то совокупность всех векторов, принадлежащих каждому из S_i, есть подпространство, наз. пересечением указанных подпространств и обозначаемое . Для конечного семейства подпространств S₁, ..., S_S совокупность всех векторов, представимых в виде

есть подпространство, наз. суммой S₁, ..., S₃ и обозначаемое S₁+...+S_S. Если для любого элемента суммы S₁+...+S_S представление в виде (*) единственно, эта сумма наз. прямой и обозначается . Сумма подпространств является прямой тогда и только тогда, когда пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора. Размерность суммы подпространств равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения. В. п. L₁ и L₂ наз. изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами, согласованное с операциями в них; L₁ и L₂ изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Конкретные примеры В. п. можно найти в матем. аппарате практически любого раздела физики. Конечномерными вещественными В. п. являются, напр., трёхмерное физ. пространство (без учёта кривизны), конфигурац. пространство и фазовое пространство системы п классич. точечных частиц. К числу бесконечномерных комплексных В. п. принадлежат гильбертовы пространства, конкретные и абстрактные, составляющие основу матем. аппарата квантовой физики. Простейший пример гильбертова пространства - уже упоминавшееся пространство . Осн. физ. примеры - пространства векторов состояний разл. систем микрочастиц, изучаемых в квантовой механике, квантовой статистич. физике и квантовой теории поля. Находят применение и такие В. п., у к-рых поле скаляров не совпадает со множеством вещественных или комплексных чисел: так, гильбертово пространство яад полем кватернионов используется в одной из формулировок квантовой механики, а гильбертово пространство над полем октонионов - в одной из формулировок квантовой хромодинамики. В совр. теориях суперсимметрии, интенсивно применяются т. н. градуированные В. п., т. е. линейные пространства вместе с их фиксир. разложением в прямую бесконечную сумму подпространств.

Лит.: Гельфанд И. M.. Лекции по линейной алгебре, 4 изд., M., 1971; Кострикин А. И., Mанин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, 2 изд., M., 1986. С. С. Хоружий.

   <<      Предметный указатель      >>