векторный анализ

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ - раздел математики, в к-ром изучаются скалярные и векторные поля и разл. операции с ними. Скалярное поле сопоставляет каждой точке (3-мерного) пространства нек-рое (действительное) число , а векторное поле - нек-рый вектор Если точка задаётся своими декартовыми координатами, , а вектор - своими компонентами , то градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля выражаются ф-лами:

Градиент, дивергенцию и ротор удобно выражать с помощью символич. вектора (набла), компонентами к-рого являются операторы дифференцирования по координатам, . Действуя этим символич. вектором на скалярные и векторные поля по правилам векторной алгебры, получим:

Скалярный квадрат вектора представляет собой Лапласа оператор ,или лапласиан, к-рый обозначается :

Формальное применение правил векторной алгебры к вектору приводит к ряду соотношений между градиентом, дивергенцией и ротором, напр.

или

При такого рода формальных преобразованиях необходимо следить, чтобы дифференц. оператор в окончат. выражении стоял слева от той ф-ции, на к-рую он действует. Если оператор действует на произведение двух ф-ций, то по правилу Лейбница (правило дифференцирования произведения) можно записать результат в виде суммы двух членов:

или

Сочетая правило Лейбница с правилами векторной алгебры, можно получать соотношения такого типа:

или

В случае более сложных алгебраич. выкладок на промежуточных этапах следует отмечать стрелкой ту ф-цию, на к-рую действует оператор , не заботясь о порядке следования оператора и ф-ций, и лишь на последнем этапе возвращаться к обычному порядку:

или

T. о., получаем:

Все осн. дифференц. операции В. а. имеют определ. геом. смысл, поэтому значения выражений , не зависят от выбора системы координат. Все соотношения между дифференц. выражениями также носят инвариантный характер.

В приложениях часто встречаются поток вектора через заданную поверхность и интеграл от него вдоль заданной кривой:

Здесь -проекция вектора а на нормаль к поверхности в данной точке, -проекция его на единичный вектор, касательный к кривой, dS - элемент площади поверхности, dl - элемент длины кривой. Пусть а - распределение скоростей движущейся жидкости, тогда первый интеграл равен объёму жидкости, пересекающей данную поверхность в единицу времени. Если а - силовое поле, то второй интеграл равен работе, совершаемой при перемещении пробного тела вдоль данной кривой. В случае замкнутой кривой такой интеграл наз. циркуляцией векторного поля.

Эти интегралы фигурируют в осн. теоремах В. а.- Гаусса - Остроградского формуле и Стокса формуле:

Здесь-поверхность, являющаяся границей области V, а - кривая, ограничивающая поверхность S. Кружки на значках интегралов означают, что интегрирование ведётся по замкнутой поверхности и замкнутой кривой. Положит. направление нормали к поверхности S должно быть ориентировано относительно направления обхода контура так же, как положит. направление оси x₃ - относительно положит. направления вращения в плоскости х₁, x₂. Полагая в ф-ле Гаусса - Остроградского , получим важную теорему Грина

Её следствием является ф-ла

Др. интегральные теоремы можно получить как следствия уже сформулированных:

Понятия В. а., определённые выше для евклидова пространства, можно обобщить на риманово пространство и др. многообразия. Дифференц. операции приводят к понятию ковариантной производной, интегральные теоремы формулируются на языке дифференциальных форм.

Лит. см. при ст. Векторная алгебра. M. Б. Менский.

   <<      Предметный указатель      >>