взаимности принцип

ВЗАИМНОСТИ ПРИНЦИП (взаимности теорема) - устанавливает перекрёстную связь между двумя источниками и создаваемыми ими полями в местах расположения источников (из рассмотрения исключают значения полей в областях, не содержащих источников). В. п. справедлив для разнообразных систем (механич., акустич., электромагнитных и др.), описываемых линейными ур-ниями; его следствием являются т. н. соотношения взаимности для Грина функций. Идея В. п. встречается у Дж. Грина (G. Green, 1828); последующие обобщения принадлежат Г. Гельмгольцу (H. Helmholtz, 1860), Дж. У. Стретту (Рэлею) (J. W. Stmtt; Rayleigh, 1873), X. Лоренцу (H. Lorentz, 1895) и др. Ниже обсуждается В. п. в электродинамике.

В электростатике В. п. сводится к равенству энергий взаимодействия полей, описываемых скалярными потенциалами и и создаваемых зарядами с объёмными плотностями и :

Если заряды Q^a и Q^b помещены на изолиров. металлич. тела (= const), из (1) следует:

где -потенциал, наводимый зарядом "а" на теле "b". Аналогично можно записать В. п. для любых элементарных мультипольных источников. Так, для точечных нарядов [, -дельта-функция Дирака] В. п. сводится к (2); для диполей с дипольными моментами , т. е.

где -напряжённости соотв. электрич. полей; для квадруполей с тензорами квадрупольного момента и т. д.

В. п. (1) - (3) справедлив только в средах с симметричными тензорами диэлектрнч. проницаемостей . В тех случаях, когда , справедлив "транспонированный" В. п. (ТВП), формально совпадающий с (1), но сопоставляющий поля и источники в разных средах: "а" - в среде с , "b"-в транспониров. среде с

Двойственности перестановочной принцип позволяет перенести сформулированный выше В. и. в магнитостатику; причём в представлении (3) магн. дипольный момент можно интерпретировать и как зарядовый, и как токовый. Более общей является запись В. п. через объёмные плотности токов и векторные потенциалы А:

В случае перем. полей с произвольной зависимостью от времени формулировка В. п. существенно усложняется из-за конечности запаздывания отклика на изменение поведения источника. В частном случае синусоидальных процессов, описываемых множителем ( - угловая частота, t - время), В. п. представляют в форме, объединяющей (1) и (4):

где фигурируют комплексные амплитуды зарядов, токов и потенциалов. Выражение (5) не зависит от калибровки потенциалов и сводится к соотношению между токами и полями :

Именно в форме (6) В. п. применяют в разл. задачах электродинамики (возбуждение волноводов и резонаторов, расчёт антенн и т. п.). В. п. (6) опирается на Лоренца лемму и справедлив только для сред, в к-рых соблюдается соотношение вида:

где D, В-векторы электрич. и магн. индукции, а интегрирование осуществляется по всему объёму, занимаемому полем. Соотношение (7) справедливо для линейных сред с симметричными тензорами проницаемостей. Для сред с несимметричными тензорами проницаемостей (к ним принадлежат, в частности, плазма и ферриты, находящиеся под действием пост. магн. поля ) имеет место ТВП ( , ). В магнитоактивных средах транспонирование достигается при замене . Если заряды и токи движутся как единое целое с пост. скоростью , взаимно сопоставимые системы получаются при замене Принцип перестановочной двойственности позволяет обобщить В.п. (5), (6) на случай магн. источников.

С помощью В. п. удаётся получить Кирхгофа закон обобщенный о связи излучательной и поглощательной способностей для произвольных эл--динамич. систем. Одним из следствий В. п. является совпадение диаграмм направленности антенны в режимах передачи и приёма. В теории линейных цепей В. п. помогает расшифровывать структуры самых сложных цепей разной природы. Лит.: Стретт Дж. (лорд Рэлей), Теория звука, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, M., 1955; Фурдуев В. В., Теоремы взаимности в механических, акустических и электромеханических четырехполюсниках, М.- Л., 1948; Вайнштейн Л. А., Электромагнитные волны, M., 1957; Mорс Ф. M., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1-2, M., 1958-60; Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Электродинамика сплошных сред, 2 изд., M., 1982. И. Г. Кондратьев, M. А. Миллер.

   <<      Предметный указатель      >>