винера-хинчина теорема

ВИНЕРА-ХИНЧИНА ТЕОРЕМА -утверждение о том, что спектральная плотность стационарного случайного процесса , связанная с его корреляц. ф-цией преобразованием Фурье:

неотрицательна, О (угловые скобки означают статистич. усреднение, * - комплексное сопряжение). Спектральную плотность наз. также спектром мощности случайного процесса. В.-X. т. получена H. Винером (N. Wiener) в 1930, в иной формулировке - А. Я. Хинчиным в 1934.

Неотрицательность спектральной плотности позволяет трактовать эту величину (при ) как меру интенсивности флуктуации случайного процесса на частоте . Такая трактовка становится очевидной, если заметить, что спектральная плотность связана со случайным спектром

соотношением , где - дельта-функция. Это наглядное соотношение непосредственно вытекает из (1) и (2) и при теоретич. анализе обычно позволяет получать правильные следствия, однако оно является чисто формальным, т. к. отд. реализации стационарного процесса , вообще говоря, не исчезают при и спектр (2) в обычном смысле не существует. Чтобы обойти эту трудность, достаточно рассмотреть вместо (2) спектр "обрезанных" реализаций:

к-рый при больших T можно трактовать как нек-рую аппроксимацию (2). Из (1) и (3) следует, что для стационарного процесса т. е. спектральная плотность пропорциональна ср. квадрату амплитуды случайного спектра

Спектральная плотность служит одним из осн. понятий при корреляц. анализе случайных ф-ций в статистич. радиофизике, в теории равновесных тепловых флуктуации, в физ. кинетике и др. и допускает непо-средств. обобщение на статистически однородные и стационарные случайные поля, переходя в пространственно-временной спектр случайного поля.

Лит.: Гроот С. де, Мазур П., Неравновесная термодинамика, пер. с англ., M., 1964; Введение в статистическую радиофизику, ч. 1 - Рытов С. M., Случайные процессы, M., 1976; ч. 2 - Рытов С. M., Кравцов Ю. А., Татарский В. И., Случайные поля, M., 1978; Яглом A. M., Корреляционная теория стационарных случайных функций с примерами из метеорологии, Л., 1981. Л. Л. Апресян.

   <<      Предметный указатель      >>