НАНОЧАСТИЦЫ ПРИХОДЯТ НА ПОМОЩЬУченых волнует вопрос, насколько надежно защищены космонавты от больших доз радиации (ведь они лишаются естественного защитного «зонтика» – магнитного поля Земли). Особенно актуальна эта проблема в случае возможных пилотируемых полетов на Луну или Марс. Даже специально разработанные материалы не смогут полностью обезопасить от космической радиации. Далее... |
возмущений теория
ВОЗМУЩЕНИЙ ТЕОРИЯ
- метод решения задач, основанный на разложении по малому параметру (e), позволяющий
вслед за решением "невозмущённой" задачи, соответствующей нулевому
значению малого параметра, находить путём последовательных итераций решение
"возмущённой", отвечающей
. При этом возмущением является любое малое отклонение от упрощённой задачи,
допускающей точное решение.
Лишь огранич. класс задач
может быть решён точно, поэтому практически в каждой проблеме приходится использовать
упрощённое описание, к-рое сводится к нахождению одного или неск. членов разложения
искомого решения по малому параметру. Малый параметр может явно содержаться
в исходных ур-ниях, но в ряде случаев его приходится вводить искусственно, для
удобства. В сложных задачах требуется преобразовывать исходные ур-ния и только
после нетривиальных упрощений удаётся выделить малый параметр и использовать
В. т. Если старшей из степеней малого параметра ,
к-рая учитывается в решении, является
то говорят об т-м приближении В. т. Решение исходной невозмущённой задачи
соответствует, т. о., нулевому приближению. Выбор нулевого приближения определяется
критериями удобства и простоты, а также условием быстрой сходимости ряда по
степеням , к-рый
описывает вклад последоват. итераций по возмущению.
В. т. широко используется
для решения задач в математике, физике, механике, химии, технике. Рассмотрим
ряд примеров, имеющих наиболее общий характер и достаточно широкую область применимости.
Теория возмущений в
небесной механике
Исторически термин "возмущение"
пришёл в физику именно отсюда. Методы В. т. развивались в этой области на протяжении
двух-трёх столетий, и разработанная здесь общая и эффективная методика В. т.
имеет широкую сферу применимости.
Типичная проблема, к-рую
приходится решать при изучении движения небесных тел, состоит в следующем. Известно
невозмущённое движение планеты вокруг Солнца (задача двух тел, или задача Кеплера).
Требуется учесть возмущения орбиты планеты, возникающие под влиянием постороннего
третьего тела (задача трёх тел) или неск. тел. Такими телами обычно являются
другие планеты Солнечной системы. Вызываемые ими возмущения, как правило, малы
(напр., взаимодействие Земли с Юпитером, к-рый оказывает наиб. из всех планет
влияние на орбиту Земли, не превышает 1/17000 от взаимодействия с Солнцем).
Но точность астр. данных очень высока, поэтому во многих случаях оказывается
недостаточным ограничиться первым приближением В. т.
В нулевом приближении орбита
планеты (для определённости далее будем говорить о Земле) является эллипсом.
Положение Земли на орбите определяется заданием момента времени t и шести
постоянных (по числу степеней свободы тела - три компоненты координаты и три
компоненты скорости): большой полуоси эллипса а, эксцентриситета ,
долготы узла (характеризующей
угол между осью х и линией узлов, к-рая определяется пересечением плоскости
эллипса с фиксированной координатной плоскостью ху), угла наклона i плоскости эллипса к плоскости ху, долготы перигелия
(характеризующей угол между радиусом-вектором перигелия и линией узлов), т.
н. ср. эпохи(определяющей
момент времени прохождения планеты через перигелий). Параметры
задают форму эллипса, углы ,
i определяют положение плоскости эллипса в пространстве, а
- положение эллипса в его себств. плоскости, параметр t фиксирует начало отсчёта
времени. Обозначим через ,
j=1,. . . , 6 набор из перечисл. постоянных. Орбита другой планеты (для
определённости - Юпитера) также характеризуется заданием своих шести постоянных
. При учёте взаимодействия
с Юпитером орбита Земли искажается и уже не является эллипсом. Но если в какой-то
момент времени t0 "выключить" это взаимодействие,
то с данного момента Земля снова начнёт двигаться по эллипсу, касательному к
реальной орбите. Её траектория при t>t0 будет характеризоваться
набором постоянных
[эллипс касается реальной орбиты, поскольку параметры
однозначно определяют начальные положения q(t0)и скорость
q(t0)]. T. о., реальная траектория характеризуется
заданием в каждой точке касательных эллипсов, по к-рым двигалась бы Земля при
мгновенном выключении взаимодействия с Юпитером в момент времени, отвечающий
данной точке траектории. Поэтому реальная траектория определяется набором величин
, к-рые наз. оскулирующими
(касательными) элементами. Такое описание хорошо приспособлено к применению
В. т. из-за того, что зависимость оскулирующих элементов от времени возникает
только благодаря возмущению, вызванному влиянием постороннего тела.
Процедура В. т. состоит
теперь в следующем. Возмущающие силы зависят от t и неизвестных элементов
орбиты . Но в первом
приближении эти силы можно вычислять при постоянных элементах орбиты, отвечающих
значениям оскулирующих элементов при t=0. Иначе говоря, действит. возмущающие
силы можно заменить теми силами, к-рые действовали бы на тело при движении по
первоначальным эллипсам, удовлетворяющим законам Кеплера. Если в качестве параметров
орбиты выбраны оскулирующие элементы, то это хорошее приближение, т. к. их изменение
в процессе реального движения является небольшим (пропорциональным возмущающей
силе). Далее, при заданных возмущающих силах можно найти новые элементы орбиты,
снова подставить их в возмущающие силы и т. д. Возникает ряд по степеням возмущающих
сил, к-рый в случае планетной системы является рядом по малой величине отношения
масс планет к массе Солнца. Описанная процедура наз. методом вариации постоянных.
Аналитически она выглядит след. образом.
Ур-ния движения системы
тел в канонич. форме имеют вид:
где qa, ра - обобщённые координаты и импульсы, 2n- число степеней свободы,
H0 - невозмущённая
Гамильтона функция (отвечает задаче Кеплера), q, p - совокупность
всех qa, pa, Н1 - возмущение (учитывает
взаимодействие с другой планетой). Решение невозмущённой задачи (при H1=0)имеет вид:
где
- произвольные постоянные, в качестве к-рых в рассмотренном выше примере можно
выбрать оскулирующие элементы. Тогда с учётом возмущения
и становятся ф-циями
времени:
Ур-ниям (4) можно придать
форму:
в к-рой явно выделен малый
параметр е, содержащийся в возмущении. С помощью подходящего преобразования
нач. условия всегда можно выбрать нулевыми:
. Решение удобно искать в виде ряда по e:
Подставляя (6) в (5) и
приравнивая члены при одинаковых степенях ,
получаем:
и т. д. T. о., задача сводится
к последоват. вычислению ряда интегралов от известных ф-ций.
Однако при конкретном осуществлении
описанной процедуры часто возникают осложнения. Координата планеты q(t)в
нулевом приближении является перио-дич. ф-цией времени, к-рая содержит осн.
гармонику с частотой
(где T - период обращения планеты) и колебания, отвечающие высшим гармоникам
с частотами . Поэтому
все ф-ции, входящие в задачу, представляются в виде рядов Фурье, а ур-ния (4),
(5) должны быть написаны для коэффициентов таких рядов. Расстояние между планетами
r(t), входящее в возмущающие силы, будет содержать комбиниров. частоты
, где
пробегают все целые значения. Среди них будут встречаться малые частоты, если
осн. частоты и
являются кратными.
Кроме того, в возмущающей силе всегда есть член, соответствующий нулевой гармонике,
к-рый не зависит от времени. Он отвечает среднему действию возмущающей силы
за времена, большие по сравнению с периодами обращения планет.
Возмущения, не зависящие
от времени, согласно ф-лам (7), дают поправки к оскулирующим элементам, линейно
растущие со временем. Такие возмущения наз. вековыми, (Существует, однако, теорема,
что большая полуось эллипса а не содержит вклада от вековых возмущений.)
Для отд. простых ситуаций оказывается возможным доказать, что суммирование вековых
возмущений во всех порядках сводится к смещению осн. частот на величины, пропорциональные
возмущающим силам, и не приводит при
к большим искажениям траекторий планет.
Особого рассмотрения требуют
также те члены в возмущающей силе, к-рые содержат комбиниров. частоты. Эти члены
наз. критическими. Они тоже приводят к нарастающим
со временем поправкам к невозмущённому движению. С ними связано, в частности,
явление т. н. либрации - колебание больших полуосей эллипсов или к--л. др. параметров,
характеризующих орбиту. Либрация часто встречается в системах планета - спутник.
Правильный учёт вековых
возмущений и либрации позволяет с хорошей точностью аппроксимировать решение
задачи трёх тел в небесной механике тригонометрич. рядами, что соответствует
периодич. движению. Погрешность, даваемая такими рядами за промежутки времени
1000 лет, меньше
точности астр. наблюдений. Существование таких решений гарантирует устойчивость
планетной системы для промежутков времени
106 лет. Но точное (при всех временах) представление решения в виде
тригонометрич. рядов невозможно [А. Пуанкаре (H. Poincare), 1892]. Поэтому неизвестно,
насколько сильно изменится Солнечная система за времена t106
лет, в частности не окажутся ли планеты в опасной близости к Солнцу.
Всегда существуют, однако,
частные решения, отвечающие периодич. движению. Если представлять наборы параметров
(нач. значений координат и скоростей), характеризующих движение, в виде точек
на прямой, то частные периодич. решения будут располагаться на ней с плотностью,
соответствующей распределению рациональных чисел (Пуанкаре, 1899). Поэтому в
произвольной близости к произвольно заданным нач. значениям координат и скоростей
всегда существуют такие нач. значения, к-рые отвечают периодич. решению.
Но движение может не быть
периодическим, и тем не менее параметры орбит будут оставаться огранич. ф-циями
времени, т. е. планеты не уйдут на бесконечность. Именно такая ситуация при
довольно слабых ограничениях на нач. условия реализуется в Солнечной системе
(В. И. Арнольд, 1961).
Проблема устойчивости
движения в классической механике
Ещё одним важным аспектом
В. т. в классич. механике являются возмущения траекторий, вызванные малым изменением
нач. условий. Здесь следует отметить выяснение проблемы устойчивости движения
по первому приближению В. т. При нек-рых, довольно слабых ограничениях имеются
след. утверждения (А. А. Ляпунов, 1892). Пусть изменение нач. условий характеризуется
малым параметром .
Если поправки к решению, полученные в первом приближении по е, не содержат экспоненциально
нарастающих по времени членов, то движение в целом будет устойчивым. Если такие
члены содержатся в первом приближении, то движение окажется неустойчивым. T.
о., отброшенные члены, соответствующие высшим приближениям по
, не влияют на устойчивость движения.
Теория возмущений в
квантовой механике
Рассмотрим примеры, характеризующие
методику В. т. в квантовой механике.
Стационарная В. т. Пусть
квантовомеханич. система находится в стационарном состоянии, а энергия возмущения
не зависит от времени. Осн. задачей здесь является нахождение уровней энергии
и волновых ф-ций
возмущённой системы. Эта задача аналогична учёту вековых возмущений в классич.
механике. Ожидается, что энергия (частота) нач. состояния изменится пропорционально
возмущению и, кроме того, изменится форма волновой ф-ции. Аналитически решение
данной задачи выглядит след. образом. Стационарное Шрёдингера уравнение имеет
вид:
где Н0
- гамильтониан нулевого приближения, U=
- оператор возмущения. Полный набор состояний
нулевого приближения определяется из уравнения:
Предположим, что в нулевом
приближении система находится в состоянии п (т. е.
и при 0).
Тогда решение ур-ния (8) удобно искать в виде:
(
- символ Кронекера). Подставляя ф-лы (10) в (8) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях ,
получим:
Здесь
матричный элемент оператора
возмущения (dq -- элемент объема); волновые ф-ции
считаются нормированными на единицу. Заметим, что поправка второго приближения
к энергии осн. состояния всегда отрицательна.
Из ф-л (11) следует, что
в тех случаях, когда имеется вырождение, т. е. система в низшем приближении
имеет близкие уровни,
, В. т. в описанном виде перестаёт быть применимой. В этой весьма распространённой
ситуации приходится точно решать задачу о расщеплении близких уровней. Она сводится
к решению т. н. секулярного ур-ния (от англ. secular - вековой; аналогичные
ур-ния возникают в теории вековых возмущений в небесной механике):
где
нумеруют все состояния, имеющие энергию, совпадающую в нулевом приближении с
. Решение ур-ния
(12) даёт, вообще говоря, разл.
для разных n'. Происходит полное или частичное снятие вырождения (в зависимости
от характера нарушения симметрии невозмущённой системы возмущающим потенциалом).
Подставляя поочерёдно корни
в ур-ние
для нахождения коэффициентов
разложения волновой ф-ции
по вырожденной системе состояний,
можно установить вид волновой ф-ции низшего приближения. Описанная процедура
находит применение в очень широком круге физ. задач. Напр., гамильтониан H0
может соответствовать задаче о движении электрона в кулоновском поле
ядра. При этом возмущение U может описывать взаимодействие с медленно
меняющимся во времени электрич. или магн. полем (возникающее при этом расщепление
уровней наз. соответственно Штарка эффектом или Зеемана эффектом); в качестве U могут фигурировать спин-орбитальное или спин-спиновое
взаимодействие и т. д.
Нестационарная В. т. Рассмотрим
теперь важный случай, когда возмущения зависят от времени. Осн. задачей здесь
является вычисление вероятностей квантовых переходов между состояниями невозмущенной
системы, происходящих под влиянием возмущения. В. т. в этом случае основывается
на методе вариации постоянных, так же как и в классич. механике. Задача состоит
в решении ур-ния Шрёдингера
при условии, что в нач.
момент система находилась в одном из стационарных состояний
невозмущённого гамильтониана H0. Рассмотрим достаточно общую
ситуацию, когда возмущение быстро убывает при
, и в качестве начального момента времени выберем точку
Решение ур-ния (14) удобно
искать в виде ряда:
в к-ром зависимость коэффициентов
разложения от времени возникает только благодаря возмущению:
Здесь
Решение ур-ний (16), так
же как и в предыдущих примерах, легко найти в виде ряда по малому параметру
e , к-рый в качестве множителя может быть выделен в возмущении.
Для простоты рассмотрим
случай, когда возмущение содержит только одну гармонику с частотой ,
т. е. . Ф-ции
характеризуют вероятность
перехода под влиянием возмущения к моменту времени t из нач. состояния
п в другое собств. состояние т невозмущённого гамильтониана. Представляет
спец. интерес отнесённая к единице времени вероятность перехода из состояния
п при в
состояние т при .
Эта величина в первом приближении В. т. определяется выражением:
где -дельта-функция
Дирака. T. о., за бесконечно большой отрезок времени переход осуществляется
с сохранением энергии. Интегрируя (17) по малому энергетич. интервалу
в окрестности и
считая, что число квантовомеханич. состояний в этом интервале равно ,
где-плотность уровней
энергии, получим выражение для вероятности перехода в единицу времени в виде:
Если нач. состояние n
характеризуется импульсом
и нормировано на единичную плотность потока, а конечное состояние характеризуется
импульсом и нормировано
на единицу (точнее, на -функцию
от ), то выражение
(18) имеет размерность площади и представляет собой дифференц. сечение рассеяния.
Ф-ла (18) при этом соответствует т. н. борновскому приближению теории
рассеяния.
Описанная методика с нек-рыми
модификациями охватывает широкий круг задач, относящихся к переходам между уровнями
энергии в атомах и атомных ядрах, к распадам нестационарных состояний, к описанию
рассеяния и т. д. Она непосредственно обобщается на случай квантовой теории
поля (КТП).
Теория возмущений в
КТП
В КТП матрица коэффициентов
является матричным
представлением оператора эволюции:
при этом
является S-матрицей (матрицей рассеяния)KТП. Ур-ние (16) по-прежнему
имеет место, при этом возмущение U должно рассматриваться как оператор
взаимодействия во взаимодействия представлении. Это ур-ние удобно записать
в операторной форме:
Формальное решение теперь
можно представить в виде:
где T - операция
хронологического произведения, к-рая возникает из-за того, что операторы
U(t)в разные моменты времени не коммутируют между собой. Переходя в
(21) к пределу
, разлагая правую часть до n-го порядка по взаимодействию и вычисляя
матричные элементы от обеих частей равенства по состояниям невозмущённого гамильтониана
КТП, можно в соответствующем порядке В. т. воспроизвести релятивистски инвариантное
выражение для матрицы рассеяния в виде суммы Фейнмана диаграмм. Однако
реальное осуществление этой программы наталкивается на трудность, связанную
с появлением расходимостей в S-матрице уже во втором порядке В.
т. Эта трудность преодолевается с помощью процедуры перенормировок (см.
Перенормированная теория возмущений).
Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Квантовая механика, 3 изд., M., 1974; Боголюбов H. H., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., M., 1974; Дубошин Г. H., Небесная механика. Аналитические и качественные методы, 2 изд., M., 1978; Берестецкий В. Б., Лифшиц E. M., Питаевский Л. П., Релятивистская квантовая теория, ч. 1-2, M., 1968-71; Xаар Д. тер, Основы гамильтоновой механики, пер. с англ., M., 1974. M. В. Терентъев.