волновое уравнение

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ - линейное однородное ур-ние в частных производных гиперболич. типа:

где t - время, с - пост. параметр, имеющий размерность скорости, - Д-Аламбера оператор , - Лапласа оператор. Иногда вместо в (1) используют оператор Лоренца . Векторное В. у. предусматривает применение оператора к каждой из декартовых компонент вектора; при переходе к произвольным координатам используют тождество

.

Первоначально В. у. получено в одномерном варианте применительно к описанию движения упругой струны практически одновременно Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д-Аламбером (J. d'Alembert) и Л. Эйлером (L. Euler) в 40-е гг. 18 в. Бернулли выразил его решение через тригонометрич. ряды, Д-Аламбер и Эйлер записали общее решение в виде двух перемещающихся в пространстве со скоростью с возмущений (волн):

что и дало основание назвать ур-ние (1) волновым. Эквивалентность тригонометрич. представления решения В. у. функциональной записи (2) доказана Ж. Фурье (J. Fourier) в 1824.

Впоследствии понятие волнового возмущения претерпело значит. изменения (см. Волны), поэтому (1) нельзя считать универсальным и единственным В. у.; оно охватывает отнюдь не все виды движений, квалифицируемых сейчас как волновые. Иногда, напр., термин "уравнение волны" применяется к упрощённому уравнению 1-го порядка

описывающему волну (моду), распространяющуюся только в одном направлении. Ур-ние (3) можно интерпретировать как закон сохранения величины , поэтому его иногда наз. "кинематическим", в отличие от "динамического" ур-ния 2-го порядка или от системы двух ур-ний 1-го порядка (см., напр., Телеграфные уравнения).

Ур-ния (1) и (3) порождают достаточно разветвлённое семейство ур-ний, также причисляемых по совр. терминологии к категории волновых. Простейшим обобщением, сохраняющим внеш. облик ур-ния (1), является введение в него зависимости скорости с от координат, с=с(r)(неоднородные среды), от времени (параметрические среды), от самой ф-ции (квазилинейные среды) или от частоты её изменения во времени, (диспергирующие среды).

В. у. является одной из наиб. употребит. матем. моделей в физике. Оно описывает почти все разновидности малых колебании в распределённых механич. системах (продольные звуковые колебания в газе, жидкости, твёрдом теле; поперечные колебания в струнах и т. п.). Ему удовлетворяют компоненты эл--магн. векторов и потенциалов, и, следовательно, мн. эл--магн. явления (от квазистатики до оптики) в той или иной мере объясняются свойствами его решений.

Инвариантные преобразования. Ур-ние (1) инвариантно (т. е. сохраняет свою структуру) относительно линейных преобразований координат и времени, объединённых в 10-параметрическую Пуанкаре группу (3 вращения вокруг пространственных осей, 3 равномерных движения вдоль них, объединяемые в Лоренца преобразования ,а также 4 смещения начала координат и времени). В 1910 Г. Бейтмен (H. Bateman) показал, что В. у. инвариантно относительно 15-параметрич. конформной группы, содержащей в качестве подгруппы группу Пуанкаре. Из др. инвариантных преобразований следует выделить:

/

где f₁ и f₂ - произвольные ф-ции своих аргументов: . Прямые =const, =const наз. характеристиками; в этих координатах одномерное В.у. (1) факторизуется .

Следовательно, преобразование (4) означает, что любая ф-ция характеристики сама является характеристикой. Разделение переменных. Ур-ние (1) всегда допускает разделение переменных, т. е. факторизацию решения по координатам и времени , при этом

т. е. для ф-ции получается ур-ние осциллятора (6), а для и(r) - трёхмерное Гелъмголъца уравнение, в двумерном случае его называют также ур-нием мембраны, а в одномерном - ур-нием осциллятора (но уже пространственного, а не временного).

В декартовых координатах В. у. (1) можно свести к набору четырех ур-ний осцилляторов: трёх пространственных и одного временного (6). Постоянные разделения k_x, k_y, k_z можно интерпретировать как компоненты нек-рого вектора k, наз. волновым вектором, поскольку плоская волна вида

является собств. решением (1) при условии: . Комплексная запись (7) включает в себя сразу два решения, соответствующие действительной и мнимой частям. Помимо декартовой системы координат, переменные в ур-нии Гельмгольца (5) разделяются в цилиндрических (полярной, эллиптич. и параболич.), сферической и сфероидальных (вытянутой и сплюснутой) системах.

Неоднородное волновое ур-ние содержит в правой части ф-цию источника

и наз. Д-Аламбера ур-нием. Его решение состоит из собств. мод - решений однородного ур-ния (1) и из вынужденного решения, связанного с источником. В силу линейности (8) справедлив суперпозиции принцип, поэтому ф-цию f можно разложить по любой полной системе ф-ций (обычно выраженных через координаты, допускающие разделение переменных) или представить в виде интеграла (суммы) по элементарным источникам. Часто в качестве элементарного источника берётся дельта-функция Дирака, а соответствующее решение наз. Грина функцией. Всплеск от элементарного возмущения, имевшего место в начале координат в момент t=0, возбуждает волны, уходящие (бегущие, распространяющиеся) от источника. В одномерном случае их величина постоянна, в двумерном и трёхмерном - она монотонно убывает с удалением от центра. Для двумерного пространства характерно возникновение бесконечно длящегося последействия, благодаря к-рому отклик не повторяет ф-цию источника.

Обычно для В. у. рассматривают Коши задачу, описывающую распространение волн в n-мерном пространстве. Классич. решением задачи Коши наз. непрерывно дифференцируемую ф-цию , удовлетворяющую В. у. в полупространстве t > 0 и нач. условиям , где - заданные ф-ции. Классич. решение даётся Кирхгофа формулой (п = 3), Пуассона формулой (n=2) или Д-Аламбера формулой (n=1). Рассматривают также смешанную задачу, описывающую колебания ограниченного объёма V.

Имеется много приближённых методов решения В. у. В т. н. KB-асимптотике рассматривают параболического уравнения приближение ,к-рое позволяет анализировать свойства волновых пучков и волновых пакетов, т. е. волновых образований, локализованных в пространстве и во времени, и геометрической оптики метод.

В системах с дисперсией волн возникает искажение профиля волны, обусловленное зависимостью скорости распространения её разл. участков от их крутизны, и решение в виде (2) становится невозможным. Если такую волну представить в виде суперпозиции синусоидальных мод типа (7), то дисперсия проявляется как зависимость фазовых скоростей с этих мод от частоты. Тогда соотношение следует рассматривать как дисперсионное уравнение ,заменяющее исходное В. у. (1) и в нек-ром смысле обладающее даже большей общностью, поскольку учёт зависимости можно провести только в рамках ур-ния Гельмгольца, т. е. после введения синусоидальной зависимости от времени. По виду дисперсионного ур-ния (в частности, если оно представляется полиномами конечных степеней по w и k) можно восстановить вид исходного дифференц. ур-ния, описывающего данный класс волн ; эти ур-ния могут существенно отличаться от стандартного ур-ния (1). Наиб. важной и наглядной иллюстрацией являются волны на поверхности жидкости .Напр., длинным (по сравнению с глубиной бассейна) волнам при небольших амплитудах соответствует дисперсионное ур-ние вида , по к-рому легко восстанавливается исходное дифференц. ур-ние . Это т. н. линеаризованное Кортевега-де Фриса уравнение, один из возможных вариантов обобщения ур-ния (3) на системы с дисперсией.

Нелинейные В. у. При перечислении нелинейных обобщений В. у. необходимо проявлять нек-рую сдержанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь с исходным В. у. В этом смысле единственным терминологически точным обобщением является внесение зависимости скорости с от волновой ф-ции в ур-ния (1), (3) или (8). Однако часто к нелинейным В. у. относят любые ур-ния, вырождающиеся в линейные В. у. при устранении нелинейности или линеаризации. Наиб. известны нелинейное ур-ние Клейна-Гордона , обобщающее линейное Клейна-Гордона уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца , учитывающее зависимость волнового числа от квадрата волновой ф-ции.

Нелинейные В. у. позволяют описать взаимодействие волн (в т. ч. и квазимонохроматических), возникновение и эволюцию ударных волн и солитонов, самофокусировку и самоканализацию и т. д.

Лит.: Морс Ф., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1-2, M., 1958-60; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1981; Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. С англ., M., 1977. M. А. Миллер, E. И. Якубович.

   <<      Предметный указатель      >>