волны

ВОЛНЫ В.- изменения нек-рой совокупности физ. величин (полей), способные перемещаться (распространяться), удаляясь от места их возникновения, или колебаться внутри огранич. областей пространства. В совр. понимании понятие В. настолько широко и многозначно, что фактически невозможно указать ни одного признака, общего для всех видов движений или процессов, к-рые наша интуиция или традиция относит к волновым.

Вероятно, первоначально понятие В. ассоциировалось с колебаниями водной поверхности (см. Волны на поверхности жидкости). Характерный признак таких В.- перемещение изменений уровня поверхности на заметные расстояния за счёт только колебат. или вращат. движений частиц воды, участвующих в волнообразовании. Аналогичными свойствами обладают механич. движения и в других пространственно распределённых системах (системах с распределёнными параметрами); напр., продольные упругие волны в газах, жидкостях, твёрдых телах, плазме способны перемещаться в пространстве и тем самым переносить энергию, кол-во движения (импульс) и др. величины за счёт последоват. передачи их от одних частиц к другим без обязат. переноса самих частиц вместе с В. Такие В. наз. также акустическими или звуковыми. Конечно, В. могут распространяться и в условиях общего (дрейфового) сноса среды (ветры, течения и т. п.) и даже сами вызывать такой снос, но роль этих дрейфов во мн. случаях пассивна - в том смысле, что они, видоизменяя характер В., не предопределяют саму возможность их существования. Для механич. волновых движений необходима "среда обитания", ибо они суть возмущения параметров этой среды. Однако в общем случае В. не обязательно связаны с наличием вещества. Напр., эл--магн. В. в вакууме представляют собой взаимосвязанные изменения электрич. и магн. полей, а гравитационные волны являются изменениями геом. свойств пространства - времени. Во мн. случаях волновые процессы имеют колебат. характер (см. Колебания), однако возможны и уединённые волны в виде локализованных в пространстве импульсных возмущений (взрывные В., нервный импульс и т. п.).

Важное свойство волновых движений - наличие локальной (близкодействующей) связи между возмущениями в соседних точках пространства. Так, подъём поверхности воды приводит к нарушению равновесия в прилегающих областях, и благодаря силе тяжести, стремящейся восстановить равновесие, движение захватывает всё новые частицы воды, тем самым порождая В. В натянутой струне роль восстанавливающей силы играет сила упругости. В звуковых В. сжатие отд. участка упругой среды повышает давление в нём, что приводит в движение соседние частицы. В эл--магн. В. благодаря эл--магн. индукции изменение напряжённости электрич. поля в одной точке порождает магн. поле в соседних точках, и наоборот. При этом всякий раз, когда передача возмущений происходит по законам причинно-следственной связи, т. е. когда источник (причина) возмущения в данной точке обусловливает отклик (следствие) в соседних, скорость передачи этих возмущений не может превышать абсолютного (не зависящего от природы В.) предела, равного скорости света в вакууме с3*10⁸ м/с.

В реальном веществе распространение В. всегда сопровождается потерями (диссипацией) энергии за счёт её перехода в тепло; если, однако, потери не слишком велики, процесс сохраняет волновой характер. С др. стороны, в активных, т. е. содержащих источники энергии, средах передача возмущений может сопровождаться их "подпиткой" от этих источников, причём такая подпитка может почти полностью определять характер процесса. Такие процессы (к-рые, в частности, имеют чрезвычайно важное значение в биологии) тоже относят к волновым (см. ниже раздел Автоволиы).

Вместе с тем в кинематич. смысле понятие В. имеет ещё более широкое употребление. К В. можно отнести любые последовательные пространственно-временные изменения поля, даже если они причинно не связаны. Так, в периодической (напр., синусоидальной) бегущей В. фиксированные максимумы и минимумы могут перемещаться с любой скоростью, в т. ч. сверхсветовой (однако любое местное изменение в таком бесконечном процессе уже не может передаваться быстрее, чем со скоростью с). Вообще говоря, изменения состояния системы, исполняемые по определённой (составленной "заранее") программе в разл. точках пространства (напр., зажигание лампочек вдоль цепочки или движение электронного луча по экрану телевизора), могут иметь вид В., распространяющихся с какой угодно скоростью. Однако, напр., передача сигналов вдоль цепочки зажигаемых лампочек (или изображений из телецентра на экран телевизора) - процесс, причинно обусловленный, и его скорость уже не может быть сверхсветовой.

Др. кинематич. особенность В. связана с ролью системы отсчёта, в к-рой они наблюдаются. Напр., рельеф холмистой местности или любая периодич. пространственная структура (решётка) для движущегося наблюдателя приобретает характер бегущей В., и наоборот - любые В., распространяющиеся без изменения формы со скоростями, меньшими предельной (световой), превращаются в неподвижные пространственные распределения, если их наблюдать в сопутствующей системе отсчёта.

Итак, понятие В. охватывает чрезвычайно разнообразные движения в системах любой природы. В известном смысле это понятие первичное. Даже общепринятое разделение объектов на "В." и "частицы" не имеет абс. характера Так, в квантовой физике микрообъекты "объединяют" в себе свойства частиц и В., что означает возможность двоякого описания их поведения (см. Корпускулярно-волновой дуализм ).Такого рода "дуализм" встречается и в макроскопич. масштабах: уединённые волновые возмущения (см. Уединённая волна ),локализованные в огранич. области пространства, проявляют свойства дискретных объектов (частиц или квазичастиц); в частности, они способны сохранять неизменной свою структуру при столкновениях (взаимодействиях) друг с другом.

Рис. 1. Распределение в пространстве волновой переменной в бегущей синусоидальной волне в моменты времени t и

Рис. 2. Траектории фиксированных точек в профиле волны на плоскости xt (характеристики).

Волновые уравнения. Из всего сложного и разветвлённого семейства волновых движений можно выделить более или менее элементарные, но универсальные типы В., что позволяет рассматривать их поведение с общих позиций, независимо от их физ. природы. Эта общность проявляется прежде всего в том, что волновые движения разл. физ. объектов (полей) описываются однотипными ур-ниями или соотношениями. Для систем с непрерывно распределёнными параметрами это обычно дифференц. ур-ния в частных производных, связывающие изменения ф-ций, характеризующих волновое поле, по времени и координатам. Эти ф-ции могут быть как скалярными (напр., давление в газе, скалярный потенциал электрич. поля), так и векторными (скорость частиц, векторные потенциалы, напряжённости эл--магн. поля и т. п.). Простейший пример - плоские одномерные В., поля к-рых зависят только от времени t и от одной из пространственных координата x. Среди них особо выделяются стационарные бегущие В., профиль к-рых перемещается без искажений с пост. скоростью (рис. 1) и к-рые могут быть описаны одной волновой переменной:

где F - нек-рая ф-ция аргумента . Значения сохраняются на прямых (рис. 2), когда приращение координаты пропорционально приращению времени , что и означает движение с пост. скоростью . Условие постоянства при =const можно записать в дифференц. форме:

при получается простейшее ур-ние В.

играющее фундам. роль в теории волновых процессов. Ф-ции (1) являются общими решениями ур-ния (2). Они описывают процесс однонаправленного распространения В., напр. в потоке невзаимодействующих частиц (где - скорость потока, - отклонение скорости частиц от v). Однако большинство волновых систем описывается ур-ниями 2-го порядка и выше, допускающими одноврем. существование В. вида (1) с двумя или более разл. скоростями. Одно из самых типичных - это волновое ур-ние для ф-ции :

или два эквивалентных ему ур-ния 1-го порядка, связывающие две ф-ции и :

где а и b - постоянные, 0. Соотношения (4) первоначально были записаны для эл--магн. линий передачи и наз. телеграфными уравнениями, однако область их применимости гораздо шире. Они описывают такую "перекачку" друг в друга, при к-рой изменения во времени одной величины (напр., ) вызывают изменение в пространстве др. величины , и наоборот. Этот механизм обусловливает процесс волно-образования в разл. физ. ситуациях. В случае звуковых В. в газах и жидкостях ф-ции соответствуют возмущениям давления и скорости, в случае эл--магн. В.- напряжённостей электрич. и магн. полей и т. д. Поскольку оба направления х равноправны, то ур-ния (3) и (4) допускают существование двух произвольного вида В. типа (1), бегущих навстречу друг другу со скоростями и ; их наз. нормальными волнами или модами. Общее решение ур-ний (3) и (4) представляет собой их сумму (суперпозицию).

Волновое ур-ние (3) может быть обобщено на случай трёхмерных возмущений, когда поле зависит от всех трёх пространственных координат х, у, z. Для этого в ур-нии (3) оператор следует заменить на оператор Лапласа:

При наличии внеш. источника в правую часть вводится определяющая его ф-ция f(r, f ):

(где r - радиус-вектор точки пространства). Это неоднородное волновое Ур-ние описывает весьма обширный класс волновых движений в линейных, однородных, изотропных системах без дисперсии.

Под дисперсией обычно понимают зависимость скорости распространения В. от её характерного периода во времени и пространстве (для синусоидальной В.- от её частоты или длины) и связанные с этим искажения профиля В. Дисперсия обусловлена немгновенностью (временная дисперсия) и нелокальностью (пространственная дисперсия) связей разл. величин в волновых системах, что часто (но не всегда) приводит к повышению порядка ур-ний, их описывающих, по сравнению с (2) или (3) (см. Дисперсия волн, Диспергирующая среда). Строго говоря, к недиспергирующим можно отнести лишь эл--магн. В. в вакууме (в их классич. описании) и гравитационные В.

Бегущая гармони ч. волна - частный случай стационарных бегущих В., представляет собой распространяющиеся синусоидальные колебания. Во мн. отношениях - это простейшее волновое движение; его выделенность связана с особыми свойствами гармо-нич. осцилляторов и ротаторов, обусловленными наличием определ. видов симметрии однородного, изотропного пространства. Если в линейной среде без дисперсии остаётся стационарной плоская В. любой формы, то в линейной диспергирующей среде таковой является плоская гармонич. (монохроматич.) В. вида

или в случае распространения В. в произвольном направлении

Здесь А - амплитуда, Ф - полная фаза В., - угл. частота, k - волновой вектор; его модуль IkI=k наз. волновым числом; - пост. сдвиг фазы (часто именуемый просто фазой). Ф-ция периодична как во времени (с периодом ), так и в пространстве (с периодом , наз. длиной В.) (рис. 1), Поверхности постоянных Ф - волновые фронты представляют собой плоскости, перпендикулярные вектору k и перемещающиеся вдоль k с фазовой скоростью . В любом другом направлении, отклонённом от k на угол a , скорость перемещения фазовых фронтов равна ; это означает, что, в отличие от k, не является вектором (иначе скорость вдоль направления равнялась бы , т. е. проекции соответствующего вектора).

Помимо (6) применяется также комплексная запись В.:

где А - комплексная амплитуда. Выражение (7) объединяет два волновых движения, описываемых реальной и мнимой частями. Запись (7) удобна тем, что операция дифференцирования сводится для неё к простому умножению: заменяется на , а на Это позволяет перейти от исходного дифференц. (или даже более общего - интегродифференц.) ур-ния В. к алгебраическому:

к-рое наз. законом дисперсии или дисперсионным ур-нием. Фактически оно полностью характеризует волновые свойства любой линейной однородной среды (системы), поскольку любое малое возмущение в ней можно представить в виде разложения Фурье по плоским гармонич. В. Дисперс. ур-ние может быть положено в основу классификации волновых процессов в линейных средах.

В общем случае ур-ние (8) имеет неск. независимых решений (ветвей), каждое из к-рых соответствует нормальной волне (моде). Если для заданного направления величина пропорциональна k, то фазовая скорость не зависит от , т. е. дисперсия отсутствует. В частности, волновое ур-ние (5) при f=0 или его одномерный вариант (3) при подстановке в него (7) даёт дисперс. ур-ние

Для систем с дисперсией тоже можно выделить более или менее общие типы ур-ний В. Так, при описании эл--магн. В. в плазме, а также нек-рых видов мезонных полей используют Клейна-Гордона уравнение:

где с и - постоянные. Ему соответствует дисперс. ур-ние вида

(в случае эл--магн. В. в плазме величина имеет смысл плазменной частоты, а с - скорости света в вакууме). Из ф-лы (10) видно, что в таких системах могут распространяться лишь В. с частотой выше нек-рого значения . Значениям отвечают мнимые k; амплитуда такой В. экспоненциально убывает вдоль оси х, а энергия в ней не переносится. Однако через слой конечной протяжённости энергия В. может "просачиваться" благодаря появлению возмущений, отражённых от задней границы слоя (подобно туннельному эффекту в квантовых системах). Такой дисперсией обладают также В. в эл--магн. волноводах в виде трубы произвольного сечения. В этом случае -поперечное, a k = k_x - продольное волновое число (постоянная распространения). Так, для волновода прямоугольного сечения , а и b - стороны сечения, т и п - произвольные целые числа. Каждой паре чисел т и п отвечает своя мода (рис. 3). Фазовые скорости таких В. (рис. 4) превышают скорость света в заполняющей волновод среде. Если эта среда вакуум, то

Эти волны наз. быстрыми, в отличие от медленных, для к-рых ; медленные эл--магн. В. могут распространяться, напр., в диэлектриках и разного рода пе-риодич. структурах (замедляющих системах). В случае х=0 (T. н. главная мода) В. не обладает дисперсией (см. ниже).

Иной дисперсией обладают В. на поверхности жидкости. В водоёме пост. глубины H такие В. без учёта поверхностного натяжения описываются дисперс. ур-нием

где g - ускорение свободного падения. Отсюда для коротких В. ( ) следует:

Фазовая скорость этих В. растёт с их длиной . Для длинных В. справедливо др. приближение:

где

Дисперс. ур-ния можно использовать для "конструирования" упрощённых динамич. ур-ний движения, приближённо совпадающих с исходными в той или иной области параметров. В частности, отправляясь от (12 в), получают приближённое ур-ние для вертик. смещений поверхности жидкости :

к-рое наз. линейным Кортевега-де Фриса уравнением; оно отличается от простейшего ур-ния В. (2) последним слагаемым с производной третьего порядка, отражающим наличие дисперсии.

Рис. 3. Дисперсионные зависимости для первых трёх мод прямоугольного волновода.

Рис. 4. Зависимости фазовой v_Ф и групповой скоростей от частоты для тех же мод, что и на рис. 3.

Свойства В., вообще говоря, зависят от направления их распространения. Если в дисперс. ур-нии (8) не зависит от направления , а только от его модуля, то система (среда) наз. изотропной, в противном случае - анизотропной. Если волновое поле характеризуется векторной переменной , то параметры В. могут зависеть от поляризации В., т. е. от ориентации вектора относительно . Различают продольные и поперечные плоские В. Если вектор , характеризующий В., колеблется в одном направлении, то такое поле и такая В. наз. линейно поляризованными, если он описывает эллипс или окружность, то соответственно - эллиптически или циркулярно поляризованными (см. Поляризация волн). Так, в В. на глубокой воде частицы описывают окружности в продольной вертик. плоскости, в к-рой лежит волновой вектор . В случае поперечного вращения вектора поля (типичного, напр., для эл -магн. В.) следует различать еще направление вращения вектора относительно : существуют В. с правой (по часовой стрелке, если смотреть в направлении) и левой (против часовой стрелки) поляризацией. В изотропных средах право- и левополяризованные В. имеют одинаковые фазовые скорости. Однако существуют гиротропные среды (напр., ферриты или плазмы в пост. магн. поле), в к-рых эти В. имеют разные.

Если действит. значениям в (8) соответствуют действит. значения , то среда считается прозрачной по отношению к данному типу В. Если значение мнимое, или комплексное, то в зависимости от знака мнимой части амплитуда В. экспоненциально убывает (В. затухает) или нарастает (В. усиливается). Соответствующая среда наз. диссипативной (поглощающей) или активной (усиливающей).

В тех случаях, когда распространение В. сопровождается переносом энергии и импульса, важными характеристиками В. служат плотности и потоки этих величин. В линейных динамич. системах они пропорциональны квадратам или смешанным произведениям соответствующих волновых переменных. Так, в гармонической бегущей линейно поляризованной эл--магн. В. в вакууме поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную, равен:

Здесь x₀ - единичный вектор, - поперечные по отношению к компоненты векторов напряжённостей эл--магн. поля; - их амплитуды; вектор П_э наз. вектором Пойнтинга. Отсюда видно, что поток энергии пульсирует с удвоенной частотой около своего ср. значения . Поток звуковой энергии в газе или жидкости описывается вектором Умова (где р - звуковое давление, - колебат скорость частиц). Средние по времени значения потока энергии и плотности энергии связаны в линейной прозрачной среде простым соотношением , где - скорость переноса энергии, совпадающая с групповой скоростью.

Во мн. типичных случаях энергия бегущей В. делится поровну между двумя её разл. видами (кинетич. и потенц., электрич. и магнитной). В этом смысле описание В. с помощью двух ф-ций, даваемое, в частности, ур-ниями типа (4), оказывается адекватным физ. картине. Отношение ф-ций для бегущей В. (напр., напряжения и тока в электрич. линии передачи, полей в бегущей плоской эл--магн. В. или - в акустической), по аналогии с явлениями в электрич. цепях, наз. волновым сопротивлением (характеристич. импедансом). Эта величина определяет условия отражения и прохождения В. на границах раздела двух сред. В нек-рых неравновесных средах (электронные и плазменные потоки, сдвиговые течения жидкости) плотность энергии отд. В. может принимать отрицат. значения (В. с отрицат. энергией), т. е. появление В. уменьшает суммарную энергию всей системы, к-рая, однако, всегда остаётся положительной.

Интерференция волн. Стоячие волны. Волновые движения малой амплитуды (масштаб малости определяется конкретными физ. условиями) удовлетворяют суперпозиции принципу: две или более В. создают поле, равное сумме их полей. Математически это означает, что такие поля описываются линейными ур-ниями [напр., ур-ниями (2) и (5)], и если им удовлетворяют поля отд. В., то будет удовлетворять и их сумма (суперпозиция); такие В. также наз. линейными. Важный частный случай - суперпозиция гармонич. В. одинаковых частот (такие В. относятся к когерентным). В тех точках пространства, где поля этих В. колеблются с противоположными фазами (отличающимися на нечётное число ), амплитуда суммарного поля равна разности их амплитуд, а там, где фазы одинаковы (или отличаются на чётное число) - их сумме. Этот эффект взаимного ослабления или увеличения поля наз. интерференцией. В общем случае интерференц. картины весьма разнообразны (рис. 5). Формирование разных волновых структур - волновых пучков, волновых пакетов, фокусов, каустик и др. может быть интерпретировано как интерференция более простых волновых движений, в частности гармонических плоских В. Так, в голографии изображение воссоздаётся путём интерференции В., отражённой объектом, и т. н. опорной В., идущей (или заранее зафиксированной) от первичного источника. Представление произвольного поля в виде сумм (или интегралов) гармонич. полей наз. фурье- представлением.

Рис. 5. Интерференция волн на поверхности воды от двух периодических источников.

Один из простейших примеров интерференции - сложение двух плоских гармонич. В. с одинаковыми амплитудами и частотами, распространяющихся навстречу друг другу:

Результирующая В. наз. стоячей волной. В точках, где (в узлах), отстоящих друг от друга на , поле равно нулю, а посередине между ними, где (в пучностях), его амплитуда максимальна и равна 2 А.

В эл--магн. стоячей В. фазы колебаний электрич. и магн. полей смещены во времени на , поэтому поля обращаются в нуль "по очереди". Аналогичное смещение по фазе происходит и в пространстве: пучности E приходятся на узлы H и т. д. Поэтому поток энергии в таких В. в среднем за период колебаний равен нулю, но в каждой четвертьволновой ячейке происходит периодич. (с частотой ) перекачка электрич. энергии в магнитную и обратно. В случае звуковых В. аналогичным образом ведут себя звуковое давление р и колебат. скорость частиц ; при этом кинетич. энергия переходит в потенциальную и обратно. T. о., стоячая В. в любой физ. системе как бы распадается на совокупность независимых осцилляторов, колеблющихся в чередующихся фазах. Волновое поле внутри замкнутого объёма с идеально отражающими стенками (резонатора) существует в виде стоячих В. Простейший пример - система, состоящая из двух параллельных, отражающих зеркал, между к-рыми оказывается "запертой" плоская эл--магн. В. (интерферометр Фабри-Перо). Поскольку на поверхности идеально проводящего зеркала тангенциальная составляющая электрич. поля равна нулю, границы х=0, x=L фиксируют узлы ф-ции и одновременно пучности ф-ции так, что внутри такого резонатора могут существовать стоячие В. с фиксир. значениями волновых числа и частоты: . Только при этих значениях вдоль системы укладывается целое число полуволн. Следовательно, поле в резонаторе распадается (квантуется) на синусоидальные поля (собств. моды резонатора) с дискретным спектром частот (рис. 6).

Рис. 6. Распределение амплитуд полей E и Н для первых трёх мод плоского резонатора с идеально проводящими границами.

Аналогичное поведение свойственно акустич. (механич.) резонаторам (напр., система из двух жёстких пластин в воздухе, труба с закрытыми концами, идеально упругая струна, закреплённая на концах, и др.). Сложение двух сдвинутых по фазе стоячих В. вида (14) даёт бегущую В. типа (6) или (7):

T. о., формально представления (14) и (15) равноправны. Вот почему нельзя в общем случае ассоциировать В. только с возмущениями, перемещающимися в пространстве,- они в такой же мере могут быть и пространственно распределёнными колебаниями. Предпочтение может обусловливаться только физ. обстоятельствами. Направляемые волны. Если две плоских В. с одинаковыми амплитудами и волновыми числами распространяются под углом друг к другу, то их суперпозиция представляется в виде

где . T. о. получается В., стоячая вдоль оси у и бегущая вдоль х. Её наз. плоской неоднородной В. (плоской - поскольку её фазовые фронты суть плоскости х=const; неоднородной - поскольку её амплитуда различна в разных точках фазового фронта). В узлах такой В. (, п = 1, 2, ...) можно поставить идеально отражающие стенки, не возмущающие распределения поля (16). Так получается простейший (двумерный) волновод, направляющий (канализирующий) в направлении х В., поле к-рой как бы "заперто" между двумя плоскостями. Дисперс. ур-ние такой В. имеет вид (10), а фазовая скорость определяется ф-лой (11), где , L - расстояние между стенками. Распределение волнового поля в этом волноводе таково, что для каждой моды (каждого значения п)между стенками должно укладываться целое число поперечных полуволн: .

Посредством суперпозиции большего числа плоских гармонич. В. можно сформировать поля в трубах (полых волноводах) произвольного конечного поперечного сечения (см. Волновод металлический, Волновод акустический). Т.о., в канализирующих системах может существовать бесконечное число волноводных мод (плоских неоднородных В.), однако в большинстве случаев выбором частоты вводимого в них поля можно сделать режим работы одномодовым. Экранир. линии передачи, используемые в электро- и радиотехнике, обычно функционируют именно в таком одномодовом режиме. Особое значение имеют системы, в к-рых первая - самая низкая по частоте главная мода вообще не имеет ограничений по частоте снизу (для неё =0) и, следовательно, может распространяться при сколь угодно низких частотах. Это продольные звуковые В. в трубах с жёсткими стенками (напр., в трубах органа) или эл--магн. В. в системах с многосвязными границами направляющих проводников (чаще всего - коаксиальные и двухпроводные линии передачи). Для описания таких В. обычно используют телеграфные ур-ния (4), понимая под напряжения и токи в линиях.

Главная мода, распространяющаяся со скоростью света (звука) в заполняющей волновод среде, как бы отделяет семейства быстрых и медленных В. Используя медленные эл--магн. В., можно создать устройство, формирующее и направляющее их - т. н. замедляющую систему.

Направленные В. могут существовать не только за счёт отражающих границ, но и в безграничной неоднородной среде, способной "заворачивать обратно" В., уходящие из области канализации, напр. акустич. В. в подводном звуковом канале.

Рис. 7. Отражение и преломление волны на плоской границе раздела двух сред.

Рис. 7а. Схема возникновения боковой волны.

Отражение и преломление волн. При падении В. на границу раздела двух сред, на к-рой их параметры (плотности, проницаемости и т. п.) претерпевают резкие (скачкообразные) изменения, возникают отражённые и преломлённые В. Первые возвращаются в ту среду, откуда пришла падающая В., вторые проникают в др. среду. Если граница неподвижна, а среды непоглощающие, то суммарная энергия и импульс, переносимые В., сохраняются. Связь волновых полой на границе (условия их согласования по разные стороны от неё) определяется граничными условиями, напр. условиями равенства давления и нормальных составляющих скорости в акустике, тангенц. составляющих векторов электрич. и магн. полей в электродинамике. Простейший случай - падение плоской синусоидальной В. на плоскую границу раздела двух однородных сред. Поскольку волновые поля должны согласованно изменяться по обе стороны границы, вся волновая картина как бы скользит вдоль неё с одной и той же "касательной" фазовой скоростью и, значит, проекции всех волновых векторов k на ось х должны быть тоже одинаковы. Для изотропных сред это приводит к равенству углов падения и отражения (рис. 7) и к Снелля закону преломления (см. также Преломление волн ).Для сред, допускающих несколько нормальных В., эти законы видоизменяются: угол отражения, в общем случае, не равен углу падения, а число отражённых и преломлённых В. соответствует числу ветвей дисперс. ур-ния (8) для каждой среды.

Амплитуды и потоки энергии отражённых и преломлённых В. зависят не только от k, но и от волнового сопротивления среды для соответствующих нормальных В.

Два спец. случая играют важную роль во мн. физ. и техн. задачах. Первый - случай исчезновения отражённой В. (Брюстера закон ).Он реализуется, когда поляризация колебаний среды, возбуждённых падающей В., такова, что они не "переизлучают" поля в направлении распространения отражённой В. Второй случай - полного (внутреннего) отражения: при и таких углах падения, что , угол преломления становится комплексным и преломлённая В. перестаёт распространяться - её поле оказывается "прижатым" к границе, т. е. экспоненциально спадающим при удалении от неё во вторую среду и не уносящим никакого потока энергии. Это означает, что В. полностью отражается и что между двумя такими границами можно запереть В. определ. тина, образовав волноводную систему. На этом основано, в частности, направляющее действие диэлектрич. стержней и пластин с резкими границами (волноводов диэлектрических)и световодов ,а в акустике - подводных звуковых каналов, где "захват" поля осуществляется благодаря рефракции лучей на неоднородностях среды в поперечном направлении.

С полным внутр. отражением связано и существование боковой В., возникающей при падении расходящейся (сферич. или цилиндрич.) В. под малыми углами на плоскую границу раздела. Если источник О находится в среде с , то наряду с обычным отражением по лучу OAP (рис. 7, а)В. доходит до точки наблюдения P по пути OSDP, часть к-рого SD она идёт вдоль границы со скоростью, большей . Этому пути и отвечает боковая (или головная) В., приходящаяся с наибольшей результирующей скоростью.

Модулированные волны. Групповая скорость. Бесконечная гармонич. В. является идеализацией - все реальные волновые процессы ограничены во времени, а значит, имеют конечную ширину спектра; в этом случае выполняется "временное" соотношение неопределённости:

где - характерная длительность процесса, - ширина его спектра (для квантовых систем это соответствует неопределенности соотношению для энергии и времени). Иллюстрацией (17) могут служить модулированные В. (см. Модуляция колебаний), поля к-рых совершают квазигармонич. колебания, т. е. их амплитуды и частоты претерпевают лишь плавные (в масштабах и ) изменения. Именно такие В. обычно используются в радио- и телевиз. связи, радио- и акустич. локации. Простейший пример - биения двух бегущих в одном направлении гармонич, В. со слегка разл. частотами , и волновыми числами , . Их суперпозиция сводится к "произведению двух гармонич. В.":

каждая из к-рых распространяется со своей скоростью. Если и малы, то движение (18) можно интерпретировать как амплитудно-модулированную В. (рис. 8): её несущее колебание (с частотой ) перемещается с фазовой скоростью , амплитудная огибающая (с частотой ) - с групповой скоростью .

Из набора В. со сплошным спектром, лежащим в узких пределах , , можно получить волновой пакет (рис. 9). Этот ограниченный во времени импульсный сигнал перемещается как единое целое с групповой скоростью

Величина v_гр определяется из дисперс. ур-ния (8): она равна тангенсу угла наклона кривой к оси абсцисс.

Во мн. физ. задачах волновые пакеты ведут себя как самостоят. динамич. объекты (квазичастицы), переносящие энергию и импульс со скоростью . И вообще, в соответствии с осн. принципами теории относительности групповая скорость любых В., способных переносить информацию, не может превышать скорости света с в вакууме. Так, дисперс. ур-нию (10) соответствует значение , поскольку, согласно (11), (см. рис. 4). Только в средах без дисперсии и одинаковы, в общем же случае они могут иметь не только разл. значения, но и разные знаки; В., у к-рых фазовые и групповые скорости противоположно направлены, наз. обратными.

Рис. 8. Бигармоническая волна.

В линейной диспергирующей среде волновые пакеты сохраняют свою форму только при прохождении ограниченных дистанций; на больших расстояниях они расплываются, после чего понятие групповой скорости для пакета как целого утрачивает смысл. При этом пакет становится частотно-модулированным: он может превратиться в непрерывную последовательность цугов разных частот, для каждого из к-рых можно ввести свою групповую скорость, причём вперёд уходят цуги с большей групповой скоростью. Такое расплывание особенно сильно выражено для коротких "видеоимпульсов", имеющих широкий спектр частот (рис. 10).

Рис. 10. Расплывание волнового импульса из-за дисперсии.

Если же модулир. В. имеет узкий частотный спектр, то её поле описывается выражением (7), где комплексная амплитуда А медленно (в масштабе осцилляций поля) изменяется во времени и пространстве. В одно мерном случае, когда A-A(x, t), приближённо справедливо комплексное ур-ние параболич. типа:

На небольших расстояниях [ , где - характерный масштаб модуляции] можно пренебречь правой частью этого ур-ния, тогда получается , т. е. огибающая В. распространяется без изменений формы со скоростью ; при x>L_гр необходимо учитывать правую часть (20), к-рая "ответственна" за дисперс. расплывание В.

Сферические и цилиндрические волны. Хотя из плоских В. можно получить любые волновые поля, такое представление не всегда адекватно физически наблюдаемым явлениям. Напр., В., возбуждаемая точечным источником в изотропной среде без дисперсии, представляет собой сферически расходящееся возмущение вида

где r - расстояние от центра (источника). Это одно из точных решений волнового ур-ния (5); его разложение по плоским В. допустимо, но приводит к усложнению анализа движения. В. вида (21a) наз. сферической однородной. В случае произвольного источника в (5) результирующее поле может быть представлено в виде суперпозиции таких сферич. В., выходящих из разных точек, т. е. выражаться интегралом

где dV - элемент объёма, R - расстояние между точкой источника и точкой наблюдения. Ур-ние (5) имеет ещё и другое решение, сходящееся к источнику и получаемое из (21a) заменой на . Оно приближённо реализуется, напр., для акустич. или эл--магн. В., создаваемых сферич. концентраторами или отражателями, фокусирующими излучение в центре (rО). В случае точечного источника в свободном пространстве оно отбрасывается из физ. соображений: считается, что источник является единств. поставщиком энергии и, следовательно, поток энергии должен быть направлен от него. Процесс уноса энергии от источника волнами наз. излучением, а соответствующие условия, выделяющие решение (21б) с "запаздывающими" аргументами и отметающие решения с "опережающими" аргументами , наз. условиями излучения. На больших расстояниях от источника (в дальней, волновой зоне) решение (21б) превращается в сферич. неоднородную (несимметричную) В.:

где - углы сферич. системы координат, a D(,) - диаграмма направленности источника излучения (см. Антенна).

Набор сферич. В., как и плоских, является полным,- через них можно представить произвольное волновое поле. В частности справедлив Гюйгенса - Френеля принцип ,согласно к-рому поле в любой точке, находящейся вне произвольной поверхности S, окружающей источник, можно представить как результат интерференции вторичных сферич. В., излучаемых каждой точкой (элементом) этой поверхности.

В линейных средах с дисперсией выражения (21) справедливы только для гармонич. В.; сигналы др. формы испытывают искажения, т. к. каждая гармонич. составляющая распространяется со своей фазовой скоростью, зависящей от её частоты.

Другой важный тип симметрич. В.- цилиндрическая волна ,расходящаяся, напр., от точечного источника на плоскости (поверхность воды, мембрана, плоский волновод) или источников, равномерно распределённых вдоль оси в однородном трёхмерном пространстве. Структура цилиндрич. В. сложнее, чем сферической,- даже в среде без дисперсии её форма не повторяет временного поведения ф-ции источника, как в случае (21a),- В. тянет за собой длинный "шлейф" и только на больших (по сравнению с ) расстояниях этим "шлейфом" можно пренебречь, представив В. в виде, сходном с (21a):

Волновые пучки и лучи. Из набора плоских гармонич. В. в линейных средах можно сформировать любое распределение волнового поля. Суперпозиция плоских В. с Л, близкими по направлениям, может дать локализованное в поперечном направлении поле - волновой пучок или луч с почти плоским волновым фронтом, причём поперечные размеры пучка d значительно превышают длину В., но малы по сравнению с его длиной. Величина d ограничена снизу пространственным соотношением неопределённости, связывающим пространственный масштаб любой ф-ции с шириной её пространственного спектра:

где - поперечный разброс волновых векторов, характеризуемый углом(рис. 11). При (т. н. малоугловое приближение) . Такие пучки можно считать нерасходящимися на расстояниях (в ближней, прожекторной зоне). Для коротких В. это могут быть совсем немалые расстояния. Так, идеальный оптич. прожектор (при 5*10^-5 см, d=100 см) в вакууме, т. е. при отсутствии атм. рассеяния, способен создать однородный пучок вплоть до удаления в 2000 км.

Рис. 11. Волновой пучок.

При (зона дифракции Френеля) начинает сказываться неоднородность амплитудной структуры поля в поперечном сечении пучка, из-за чего пучок плавно расширяется, и на ещё больших расстояниях, где (дальняя зона, или зона Фраунгофера), он превращается в В. с локально сферич. фронтом.

Понятие луча лежит в основе геометрической оптики - приближения, справедливого для волнового поля, амплитуда и волновой вектор к-рого изменяются плавно, на масштабах, существенно превышающих длину В. В этом случае поле может быть представлено как набор независимых лучей. В однородной среде лучи прямолинейны, в неоднородной - искривлены в соответствии с законами преломления (рефракции). С помощью лучей можно построить изображение любого предмета, размеры к-рого велики по сравнению с . На этом основаны принципы работы мн. оптич. приборов (линза, телескоп, микроскоп, глаз и т. д.), а также нек-рых типов радиотелескопов. В аналогичных ситуациях для акустич. волн говорят о геометрической акустике.

Ход лучей может быть описан также с помощью нек-рых вариац. методов (см. Наименьшего действия принцип). В этом обнаруживается аналогия между поведением полей и частиц, стимулировавшая в своё время развитие квантовой (волновой) механики. Лучи в неоднородных средах ведут себя как траектории частиц в соответствующих силовых полях; отсюда проистекает, в частности, сходство принципов действия оптических и электронных микроскопов, а также, в более широком смысле, сходство обычной оптики с электронной или "оптикой" любых др. частиц.

В рамках чисто лучевого описания интенсивность поля в точках пересечения лучей (фокусы) или их касания (каустики) обращается в бесконечность. На самом деле, в этих областях приближение геом. оптики неприменимо, и для уточнения волновой картины необходимо обращаться к исходным ур-ниям В., описывающим все детали волновой структуры. Часто, однако, достаточно ограничиться промежуточным приближением, считая, что поле представляет собой почти плоскую В. с медленным (в масштабе пространственных периодов) изменением комплексной амплитуды A= А(r). В результате, напр., волновое ур-ние (5) (при f=0) сводится к ур-нию параболич. типа (Леонтовича ур-ние) сходному с Шрёдингера уравнением.

Теория волновых пучков, развитая методом параболич. ур-ния [иногда наз. также методом поперечной диффузии амплитуд, поскольку ур-ние (24) описывает диффузионное расплывание амплитуды в поперечном сечении пучка], составляет один из важнейших и, до нек-рой степени, самостоят. разделов волновой теории (см. Квазиоптика).

Дифракция волн. Явления, связанные с отклонением от лучевого распространения В., наз. дифракцией. К дифракционным относят фактически все эффекты, возникающие при взаимодействии В. с объектами любых, даже очень малых в сравнении с длиной В. размеров, т. е. даже тогда, когда сопоставление с лучевым приближением совсем не показательно. Напр., плоская гармонич. В. падает нормально на отверстие в непрозрачном экране. Если диаметр отверстия , то прошедшее поле формирует в ближней зоне волновой пучок, поведение к-рого уже было пояснено выше. Здесь характерна достаточно резкая (толщиной ) граница между освещённой и неосвещённой областями (светом и тенью). Когда d становится соизмеримым с, поле за отверстием имеет в пространстве сложную структуру, поскольку В. от разных участков отверстия приходят в точку наблюдения в разных фазах и, следовательно, могут как увеличивать амплитуду поля, так и взаимно погашаться. В результате на нек-рой плоскости, перпендикулярной оси отверстия, возникает набор концентрич. колец (рис. 12), иногда с тёмным пятном в центре, что, разумеется, противоречит лучевой трактовке (см. Дифракция света ).Аналогичная (но "дополняющая", с заменой светлых колец на тёмные, или наоборот) дифракц. картина образуется при падении плоской В. на непрозрачный диск (см. Бабине теорема ).В этом случае на оси появляется светлая область (пятно Пуассона), обусловленная интерференцией возмущений, приходящих от краёв диска. При наличии неск. отверстий (щелей) в экране или дополняющих их экранирующих полосок в свободном пространстве формируются разнообразные дифракц. картины, изучение структуры к-рых позволяет, в частности, измерить длину В. и найти частоту падающего волнового поля (см. Дифракционная решётка).

Рис. 12. Дифракция Френеля на круглом отверстии.

Возбуждение волн. Источниками В. могут служить любые движения, нарушающие равновесное состояние среды (системы): камень, брошенный в воду, движущееся по воде судно, полёт снаряда, вибрации мембраны, струны, голосовых связок человека, колебания зарядов и токов в антеннах радиостанций и т. д. Во всех этих случаях источники поставляют энергию, уносимую бегущими В. Если источники синусоидальны [напр., ф-ция f в волновом ур-нии (5) - синусоида], то в линейных системах они возбуждают гармонич. волны. Источники В. классифицируются либо по типам создаваемых ими полей, либо по "механизмам" возбуждения. Так, пульсирующий шар создаёт в сжимаемой среде (газе, жидкости) симметричную сферич. звуковую В. типа (21a). Такой источник наз. монополем (рис. 13, а). Малые колебания тела как целого, напр. вдоль оси z около нек-рого положения равновесия (r=0), дают несимметричную сферич. В. вида

где - угол между направлениями вектора r и оси z. Это - диполь (рис. 13, б); его поле может быть представлено как суперпозиция полей двух близко расположенных монополей противоположной полярности. Это поле уже не симметрично, а зависит от направления, т. е. обладает направленностью. В общем случае произвольное поле излучения можно описать как результат действия набора мультиполей. Его угл. зависимость характеризуется диаграммой направленности.

Рис. 13. Диаграмма направленности: а - монополя; б - диполя, в - плоской антенны с размером

Однако такое представление удобно использовать обычно лишь тогда, когда размеры источника а малы по сравнению с длиной излучаемой В. . При и тем более при обычно оперируют непосредственно с интегралами типа (21б), опираясь на принцип Гюйгенса - Френеля. Напр., излучение точечного монополя эквивалентно излучению синфазно колеблющихся радиальных диполей, равномерно распределённых на сфере произвольного радиуса , окружающей монополь, а для получения остронаправленного волнового пучка достаточно построить синфазно колеблющийся слой монополей или диполей на большом участке плоскости (размером ); тогда осн. часть энергии идёт в пределах угла (рис. 13, в).

Направленное излучение создают антенны (акустические, электромагнитные), к-рые в силу принципа взаимности могут работать и как приёмные антенны с теми же свойствами направленности. Для достижения высокой разрешающей способности, т. е. возможности различения угл. положения одного источника от другого, необходимо создавать антенны больших размеров или их эквиваленты.

Физ. механизмы волнообразования могут быть связаны либо с ускоренным, либо с равномерным движением излучающих объектов - тел, зарядов и т. д. К первому случаю относится, напр., излучение В. при колебат. движениях частиц, ударе барабанной палочки, резком торможении заряж. частицы, взрывном расширении газов и т. п. В электродинамике такое излучение наз. тормозным. При этом спектр частот излучения определяется спектром ф-ции источника. При периодич., напр. синусоидальном поступательно-возвратном, движении возмущающего тела (осциллятора) с произвольной амплитудой оно излучает В. с частотами кратными частоте своих колебаний , т. е. на частоте колебаний тела и её гармониках. Естеств. обобщением этого механизма излучения является образование В. при движении тела или заряда по криволинейной траектории. Движение по кругу эквивалентно суперпозиции двух ортогональных прямолинейных осцилляторных движений, и наоборот, два круговых движения в противоположных направлениях могут быть эквивалентны одному прямолинейному осцилляторному движению. В акустике подобным образом излучают винты двигателей, в электродинамике - частицы, вращающиеся в магн. поле (магн--тормозное излучение). При равномерном движении объекта в однородной среде излучение возможно, только если он движется со скоростью, превышающей скорость распространения В. в этой среде, т. е. при "сверхволновом" - сверхзвуковом, "сверхсветовом" и т. д. движении. Возмущение, создаваемое движущимся телом, как бы "сдувается" средой. Порождаемое при этом излучение сосредоточено в конусе с углом при вершине (в точке нахождения тела), равным , где - фазовая скорость В., V - скорость тела. В среде без дисперсии этот конус (конус Маха) одинаков для всех частот, и в результате образуется резкий волновой фронт, к-рый из-за нелинейности переходит в ударную волну. Такие процессы типичны, в частности, для газодинамики. При наличии дисперсии энергия излучения распределяется среди разл. спектральных составляющих поля и характер излучения зависит от закона дисперсии. Так, при движении судна на глубокой воде энергия "носовой волны" сосредоточена в области, ограниченной углом (примерно 39°), не зависящим от скорости движения судна. В случае эл--магн. излучения такое явление обычно наз. черенковским излучением (см. Черенкова - Вавилова излучение).

Равномерно движущийся объект может стать источником В. и при небольших скоростях движения, если окружающая среда неоднородна. Такое излучение наз. переходным, а иногда дифракционным. Механизм его формирования прост: любой объект вносит в среду стационарно движущееся возмущение; в случае заряда - это статич. поляризация прилегающих областей, в случае движения тела в жидкости - поле скоростей, связанное с нарушением её равновесия. При движении в однородной среде со скоростью V< эти возмущения переносятся с телом как единое целое. Если среда неоднородна, напр. есть граница раздела или в зону стационарного возмущения попал др. объект, то эти неоднородности создают нестационарное возмущение, к-рое и порождает В. Характерный пример - переходное излучение, создаваемое заряж. частицей при пересечении границы раздела двух полупространств с разными проницаемостями.

Источниками В. могут быть не только частицы, но и волновые поля др. природы; напр., поверхностные волны возбуждают шумовой звук в толще океана; лазерный импульс, поглощаясь в среде, возбуждает акустич. излучение; сейсмич. В. возбуждают в океане В. цунами. Соответствующие процессы трансформации В. обусловлены либо неоднородностями, либо нелинейностью сред (см. ниже).

При возбуждении стоячих В. в замкнутых объёмах (резонаторах) источники расходуют энергию на раскачку и поддержание колебаний поля, в частности на компенсацию тепловых потерь. Такое возбуждение оказывается наиболее эффективным в случаях резонанса ,когда частота колебательного источника совпадает с одной из собственных частот резонатора. В неограниченной среде резонансные явления возникают в случае "синхронизма", когда скорость движения источника совпадает с фазовой скоростью одной из нормальных В. [напр., если в ур-нии (5) ф-ция источника имеет вид , т. е. соответствует В., бегущей со скоростью v]. Для распределённых источников в виде периодич. бегущих В. такой синхронизм эквивалентен резонансу как во времени, так и в пространстве, т. к. совпадают и частоты, и волновые числа источника и возбуждаемой им В.

Эффект Доплера. Среды с переменными параметрами. Свойства излучения могут быть различными в зависимости от движения системы отсчёта, в к-рой находится принимающий его наблюдатель. Так, если осциллятор, колеблющийся (в собств. системе отсчёта) с частотой , движется относительно наблюдателя (на него или от него) с пост. скоростью , то последний будет воспринимать колебания с частотой , отличной от . Такие изменения частоты (и длины волны) поля при относит. движении источника и наблюдателя наз. Доплера эффектом. Этот эффект имеет чисто кинематич. природу; напр., при движении наблюдателя навстречу В. он быстрее "проскакивает" соседние максимумы или минимумы поля, что и ведёт к увеличению частоты. Связь между можно определить из условия неизменности числа максимумов и минимумов, что означает неизменность (инвариантность) фазы при переходе из одной системы отсчёта в другую. Поскольку переменные х и t при таком переходе связаны с преобразованиями Лоренца (а при нерелятивистском движении, когда - преобразованиями Галилея), то из равенства фаз получается ф-ла

где , - угол между направлениями волнового вектора В. и скорости движения . При выражение (25) стремится к виду Отсюда видно, что при движении в сторону источника частота растёт, а при движении от источника - уменьшается. Это заметно, напр., по изменениям тона гудка приближающегося и затем удаляющегося встречного поезда. При поперечном движении частота изменяется только в релятивистском случае, когда заметно меньше единицы (поперечный эффект Доплера).

В средах с дисперсией, где фазовая скорость В. зависит от частоты, ф-ла (25) становится фактически ур-нием относительно . В таких средах возможна неустойчивость, "самораскачка", движения колебат. источника В. (осциллятора) за счёт его постулат. движения, связанные с излучением В. в область черенковского конуса, определяемого равенством (подробнее см. Доплера эффект).

Изменения частоты возникают и при любых изменениях во времени параметров среды, от к-рых зависит скорость распространения В. В таких случаях иногда говорят о параметрич. эффекте Доплера. Это относится, напр., к неоднородным движущимся средам, в частности к отражению В. от движущейся границы раздела сред, когда частоты падающей и отражённой В. отодвинуты в противоположные стороны относительно системы отсчёта, связанной с границей (двойной эффект Доплера). Частота В. изменяется и в неподвижных средах с перем. параметрами, напр. в нелинейном диэлектрике или магнетике, проницаемости к-рых меняются во времени за счёт внешнего управляющего поля. В таких средах энергия В. также изменяется за счёт работы сил, меняющих параметры среды. При достаточно медленном изменении параметров во времени и пространстве сохраняется постоянным отношение (адиабатич. инвариант), имеющее смысл числа квантов в волновом цуге с энергией W(, где N - число квантов). При быстром изменении параметров среды возможны распады и слияния квантов (см. ниже).

Нелинейные волны. По мере увеличения амплитуды практически всегда (кроме эл--магн. полей в вакууме в классич. приближении) В. становится нелинейной, т. е. её поведение и свойства начинают зависеть от амплитуды. При этом теряет применимость принцип суперпозиции - поля от независимых источников перестают существовать независимо и при совместном возбуждении уже не ведут себя как аддитивные (складывающиеся) величины. Математически это соответствует описанию движения с помощью нелинейных (для сплошных сред - обычно дифференциальных, реже - интегро-дифференциальных) ур-ний. Мерой нелинейности служит отношение амплитуды волнового поля к нек-рой величине той же размерности, характеризующей невозмущённое состояние системы или пространственно-временные параметры В. Для звукового поля это - акустич. число Маха, равное отношению амплитуды скорости смещения частиц в В. к скорости звука, для поверхностных гравитац. В. на глубокой воде - отношение высоты гребня к длине В. (или, что то же самое, отношение амплитуды скорости колебаний частиц к фазовой скорости В.), для эл--магн. В. в веществе - отношение амплитуды электрич. или магн. поля к "внутреннему" полю, поддерживающему равновесную структуру среды, и т. д. На формирование волновой картины в нелинейных средах оказывают влияние в общем те же факторы, что и в линейных: дисперсия, диссипация и дифракция (в лучевом приближении - рефракция). В активных средах к ним добавляется ещё и отрицат. диссипация или что-либо другое, учитывающее "подкачку" энергии в В. Для каждого из подобных факторов можно ввести меру по тем же рецептам, что и при оценке нелинейности. Это позволяет соотносить их конкурирующую роль, что отражается и в классификационной терминологии: напр., говорят о системах с сильной нелинейностью, но слабой дисперсией и слабой диссипацией.

Особенности волновых процессов в нелинейных системах удобно пояснить на примере одномерных возмущений в энергетически пассивной, слабонелинейной однородной среде, когда спектральный язык ещё не утрачивает свою пригодность. В линейном приближении поле В. есть суперпозиция нормальных гармонич. В. с частотами и волновыми числами k, подчиняющихся дисперс. ур-нию (8). A в нелинейном режиме гармонич. В. взаимодействуют, обмениваясь энергией и порождая В. на новых частотах. В частности, "затравочное" возмущение на частоте сопровождается появлением высших гармоник на частотах и т. д. Энергия колебаний как бы "перекачивается" вверх по спектру. Эффективность этого процесса зависит от дисперс. свойств системы и может быть велика даже при очень слабой нелинейности. Действительно, если дисперсии нет, то В. всех частот распространяются синхронно с одинаковыми , и их взаимодействие будет иметь резонансный, накапливающийся характер, поэтому на достаточно больших длинах (в масштабе ) перекачка энергии может осуществляться весьма эффективно. Если дисперсия велика, то фазовые скорости гармонич. возмущений, имеющих разные частоты, не совпадают, следовательно, фаза их взаимных воздействий будет быстро осциллировать, что приведёт на больших длинах к ничтожному результирующему эффекту. Наконец, возможны специальные, промежуточные случаи, когда в системе с сильной дисперсией только две (или несколько) "избранные" В. с кратными частотами имеют одинаковые v_Ф и поэтому эффективно взаимодействуют. В ряде случаев достигается своеобразное спектральное равновесие, когда амплитуды всех синхронных гармоник сохраняются неизменными и суммарное поле имеет вид стационарной бегущей В. вида (1), при этом в случае сильной дисперсии ф-ция близка к синусоиде, а при слабой - она может содержать участки резкого изменения поля (импульсы, "ступеньки" и др.), поскольку число гармоник в её спектре велико.

Простые волны. Роль нелинейности "в чистом виде" хорошо видна в предельном случае, когда и дисперсия, и диссипация полностью отсутствуют, т. е. все гармонич. моды бегут с одинаковыми скоростями. Если в ур-нии В. (2) считать скорость зависящей от волновой переменной , то его решение сводится к функциональному соотношению вида , описывающему простую В. или волну Римана. Профиль её непрерывно деформируется (рис. 14) так, что каждая точка с фиксир. значением движется с пост. скоростью . На спектральном языке это и означает непрерывный рост амплитуд гармоник, синхронно взаимодействующих между собой. Эволюция профиля В. сопровождается растяжением одних его участков и сокращением других, причём крутизна последних растёт вплоть до полного "перехлёста" за счёт обгона одних точек профиля другими. Иногда такая неоднозначность имеет реальный смысл. Напр., если пучок электронов пролетает через промежуток между двумя сетками, к к-рым приложено перем. напряжение, то в зависимости от фазы пролёта электроны приобретают разные скорости, и ур-ние (2) описывает В. скорости электронов [так что ]. Образование крутого фронта В. означает догон и группировку электронов, а "перехлёст" - обгон и разгруппировку. В электронике этот эффект наз. клистронным. Аналогичным образом может вести себя поток машин на дорогах ("транспортные волны") и нек-рые др. "кинематические" волновые процессы. Динамич. поведение волновых систем описывается, по крайней мере, двумя ур-ниями 1-го порядка, в простейшем варианте - парой нелинейных телеграфных ур-ний, имеющих вид (4), где . Их частными решениями являются две простые В. вида

где Так ведут себя, напр., давление и скорость в газодинамике, напряжение и ток в нелинейных эл--магн. линиях и т. д. Здесь появление "перехлёста", т. е. неоднозначности решения, уже не имеет физ. смысла. Некорректность устраняется обычно учётом дополнит. физ. факторов (дисперсии, потерь), вступающих в силу в областях резкого изменения поля и приводящих к повышению порядка исходных ур-ний. Ударные волны. Приближённые ур-ния, описывающие эволюцию В. в системах с малыми нелинейностью, дисперсией, диссипацией, получаются посредством добавления в "первичное" ур-ние (2) малых членов, учитывающих эти факторы. Весьма широкий класс таких В. описывается т.н. ур-нием Бюргерса - Кортевега - де Фриса:

где - константы, отражающие влияние соответственно нелинейности, диссипации и дисперсии (в теории нелинейных В. оба последних фактора иногда относят к дисперсионным, т. к. степень их влияния на процесс зависит от его пространственных и временных масштабов). При медленных изменениях поля членами с можно пренебречь, и возмущение ведёт себя как простая В. с . Но на участках с увеличением крутизны профиля эти "дисперсионные" члены постепенно "вмешиваются" в движение, предотвращая возможность "перехлёста". Дальнейший процесс зависит от соотношения двух последних слагаемых в ур-нии (27); при этом особую роль играют стационарные В. Хотя они и не реализуются в точности, но во мн. случаях в В. формируются образования, близкие к стационарным. Если =0, то (27) наз. ур-нием Бюргерса. Его стационарное решение имеет вид:

где - постоянные. Это решение описывает структуру стационарной ударной волны малой амплитуды. Она имеет вид монотонного перепада между двумя пост. значениями и (рис. 15). Характерная длина перепада тем меньше, чем больше его величина и чем меньше коэф. потерь

Рис. 14. Эволюция простой волны (а), образование "перехлёста" (б) и разрыва ударной волны (в).

Ударная В. (28) и есть истинное квазистационарное решение, "вписываемое" в простую В. малой амплитуды в области "перехлёста". Если, напр., в нач. момент задана синусоидальная В. с достаточно большими длиной и амплитудой, то она будет превращаться в почти пилообразную с узким ударным фронтом, а затем, по мере затухания, снова возвращаться к синусоидальной форме. На спектральном языке это означает, что высшие гармоники сначала растут, а затем затухают, и тем быстрее, чем выше их пространственные частоты; для слабых и коротких В. нелинейные эффекты вообще не успевают проявиться из-за сильного затухания.

Рис. 15. Профиль стационарной ударной волны.

В общем случае ударная В. представляет собой относительно тонкую переходную область, в к-рой происходит необратимое изменение состояния среды. Так, при распространении В. сжатия в газе в области с большой крутизной фронта начинают сказываться эффекты вязкости и теплопроводности; в результате вместо перехода в режим "опрокидывания" формируется ударный фронт. Он может быть достаточно тонок (в масштабе всего волнового возмущения), и тогда его поведение интерпретируется как движение разрыва, "скачка" поля (скачок давления, скорости и т. п.), величина и скорость перемещения к-рого определяются граничными условиями, "сшивающими" значения параметров по разные стороны от него. В частности, на ударном фронте всегда растет энтропия. Ударные В. возникают при сверхзвуковых движениях тел - самолётов, снарядов (рис. 16), метеоритов, при взрывах и т. д. В плазме с магн. полем существуют магн--гидродинамич. ударные В., а в линиях передачи с ферритами или полупроводниковыми элементами - эл--магн. ударные В.- "скачки" эл--магн. поля, не связанные с макроскопич. движением среды.

Рис. 16. Фотография ударной волны перед движущимся снарядом.

Рис. 17. Периодические стационарные волны различных амплитуд в нелинейной среде с дисперсией.

Солитоны. Др. фактором, способным предотвратить "опрокидывание" нелинейной В., является "реактивная" дисперсия, не связанная с диссипацией энергии. В ур-нии (27) она связана с последним слагаемым в правой части. В случае, если , , т. е. диссипацией можно пренебречь, ур-ние (27) наз. ур-нием Кортевега-де Фриса [его "линейный" вариант даёт ф-ла (13)]. Этому ур-нию подчиняются достаточно длинные слабонелинейные В. на поверхности водоёмов, в плазме, в эл--магн. линиях и др.; оно сыграло важную роль в развитии матем. теории нелинейных В. И здесь первоначально плавное движение эволюционирует как простая В., но затем "включается" дисперсия, и по мере обострения фронта на нём появляются осцилляции. В результирующем движении снова типично формирование В., близких к стационарным. Стационарные решения ур-ния Кортевега-де Фриса - это, вообще говоря, периодич. (т. н. кноидальные) В., профиль к-рых определяется "конкуренцией" между тенденциями к "опрокидыванию" из-за нелинейности и расилыванию из-за дисперсии (ряс. 17). При малых амплитудах эти В. близки к синусоидальным, а при больших - превращаются в последовательность коротких импульсов (поле обогащено большим числом гармоник). В пределе бесконечного периода получаются уединённые волны - солитоны, энергия к-рых сосредоточена в основном на ограниченном интервале оси х (рис. 18). Для ур-ния Кортевега-де Фриса семейство солитонов задаётся решением , где , А - амплитуда. Характерная протяжённость солитона тем меньше, чем больше А; одновременно с увеличением А солитон убыстряется. Такие образования свойственны и другим нелинейным диспергирующим волновым системам. Они обнаруживают поведение, роднящее их с материальными частицами: они локализованы в конечной области; перемещаются без деформации, перенося энергию и импульс, момент импульса; способны сохранять свою структуру при взаимодействиях (соударениях) с такими же объектами, могут образовывать связанные состояния, объединяться в коллективы (ансамбли) и т. д. (см. Солитон ).Модулированные нелинейные волны. В средах с малой нелинейностью и сильной дисперсией стационарные В. близки к синусоидальным. Если в такой среде распространяется модулир. В., то "несущее" поле в ней остаётся близким к гармоническому, но его огибающие - амплитуда и частота - медленно меняются во времени и пространстве, и основной нелинейный эффект состоит именно в том, что на достаточно больших интервалах времени и пространства огибающие испытывают накапливающиеся нелинейные деформации, определяемые зависимостью скорости распространения В. как от частоты , так и от амплитуды А или интенсивности В. (в простейшем случае нелинейная добавка к скорости ~I). Такая В. имеет вид , где А - медленно меняющаяся комплексная амплитуда, описываемая Шредингера уравнением нелинейным, обобщающим ур-ние (20)

где - пост. параметр нелинейности. Если в линейном приближении любая волновая группа в конечном счёте неограниченно расплывается, то в нелинейном случае результат снова определяется соотношением дисперсии и нелинейности, описываемых членами, стоящими в правой части (29). В достаточно протяжённых волновых пакетах возникает самолокализация - образование участков повыш. крутизны. Этот процесс происходит по-разному в зависимости от соотношения знаков дисперсионного и нелинейного членов. Если параметры и имеют одинаковые знаки, то возможно существование простых В., а затем появление осцилляции огибающей или образование самоподдерживающихся перепадов амплитуды и частоты - ударных В. огибающих (рис. 19, а); для их существования необходимо включение релаксац. диссипативных процессов, играющих роль, аналогичную роли вязкости для обычных ударных В. Если же знаки этих параметров противоположны, то волновые группы могут сжиматься, а характерной стационарной В. является солитон огибающей в виде локализованного волнового пакета неизменной формы (рис. 19, б). В этом же случае немодулированная гармонич. В. оказывается неустойчивой по отношению к малым модулирующим возмущениям (модуляц. неустойчивость или самомодуляция).

Рис. 18. Солитон.

Рис. 19. Ударная (а) и уединённая (б) волны огибающих.

Нелинейные волновые пучки. Неодномерные процессы, в к-рых одновременно действуют нелинейность, рефракция и дифракция, обычно чрезвычайно сложны для исследования, даже в случае гармонических во времени В. Для достаточно коротких В. здесь сохраняется применимость понятия луча, но его характеристики, в частности законы рефракции, зависят от амплитуды В. (в подобных случаях говорят о приближении нелинейной геом. оптики). Так, если показатель преломления световой В. п зависит от её интенсивности I, то возникают эффекты саморефракции, когда без всякой внеш. неоднородности лучи искривляются в сторону больших п. При этом, если п(I) - возрастающая ф-ция, то из-за такой саморефракции лучей в область больших I интенсивность ещё больше растёт, т. е. эффект имеет кумулятивный характер - возникает самофокусировка В. (см. Самофокусировка света). Особую сложность здесь представляет описание поля в области фокусов и каустик, где обычно наиб. сильно сказываются как нелинейность (в приближении геом. оптики амплитуда растёт неограниченно), так и дифракция.

Описание одноврем. влияния нелинейности и дифракции на распространение почти гармонич. волнового пучка в нелинейной диспергирующей среде, в к-рой малая нелинейная добавка к (что типично для мн. задач нелинейной оптики, физики плазмы и др.), проводится обычно в рамках нелинейного ур-ния Шрёдингера, обобщающего ур-ния (24) и (29). Если В., распространяясь вдоль направления х, представляет собой модулированное в пространстве колебание:, то это ур-ние имеет вид, обобщающий (24):

Ур-ние (30), как и (24), описывает стационарный волновой пучок. В отсутствие нелинейности (=0) пучок расширяется из-за поперечной диффузии. Нелинейность может полностью скомпенсировать это уширение, тогда В. будет распространяться без уменьшения амплитуды ( =0), как бы "пробивая" сама себе волноводный канал. Такое решение возможно при >0 (фокусирующая нелинейность). Диссипация и разл. рода неустойчивости приводят к постепенному разрушению нелинейных волноводов. Нелинейность может и "перекомпенсировать" дифракц. расходимость, что и означает самофокусировку пучка. Эффекты самофокусировки (и обратные им - самодефокусировки) играют особенно важную роль в нелинейной оптике и квантовой радиофизике; в частности, они ограничивают возможности создания мощных лазеров с широкими волновыми пучками, поскольку в определ. условиях плоская В. оказывается неустойчивой по отношению к возмущениям её волнового фронта и распадается на отд. пучки ("нити").

В средах без дисперсии или со слабой дисперсией эффекты нелинейной рефракции и дифракции ещё сложнее, т. к. волновое поле не остаётся гармоническим и профиль В. непрерывно деформируется, вплоть до образования ударных В., солитонов и др. Такие процессы типичны, напр., для нелинейной акустики (сюда относятся, в частности, задачи о распространении взрывных В. сильного звука в атмосфере и океане). Здесь также широко применяется приближение коротких волн, позволяющее, в частности, проследить за нелинейными искажениями В. вдоль лучей (нелинейная геом. акустика). При описании В. как квазиплоского волнового пучка справедливо приближённое ур-ние, обобщающее ур-ние (27) в отношении учёта дифракции:

где х - продольная, у, z - поперечные координаты. При b=0 это ур-ние часто наз. ур-нием Хохлова - Заболотской, а при - ур-нием Кадомцева - Петвиашвили.

Ур-ние (31) ещё весьма сложно для решения; чтобы получить простое описание эффектов, применяют более грубые упрощения. Так, при фокусировке волнового пучка в фокальную область приходит нелинейно искажённая В., однако в этой области, несмотря на рост нелинейности, ею иногда можно пренебречь, т. к. дифракц. эффекты оказываются сильнее. В результате процесс может быть описан поэтапно: сначала нелинейная фокусировка, затем линейная дифракция. Для диспергирующей среды без потерь ур-ние (31) может иметь решения в виде двумерных солитонов.

Взаимодействие волн. Поскольку для нелинейных В. принцип суперпозиции не выполняется, допустимо говорить о взаимодействии В., т. е. о тех эффектах, к-рые возникают при их совместном распространении. В соответствии с разл. способами описания одного и того же поля, понятие взаимодействия часто трактуется неоднозначно. В случаях, когда описывается эволюция В. как целого, обычно говорят о "самовоздействии" (напр., деформация профиля простой В., или деформация огибающих для В. с узким спектром). Вместе с тем эти же процессы можно рассматривать как результат взаимодействия разл. спектральных составляющих (напр., гармоник) поля (см. выше). Выбор представления зависит от конкретных условий задачи. В средах с малой нелинейностью и сильной дисперсией особенно эффективно протекает взаимодействие почти гармонич. В., если выполняются те или иные резонансные условия. Пусть, напр., в среде возбуждены две В. с частотами и волновыми векторами . Из-за нелинейности возникнут возмущения с комбинац. частотами и волновыми векторами, где m и n - целые числа. Наиб. эффективно будут возбуждаться те из них, к-рые окажутся в резонансе с нормальными В. среды, т. е. для к-рых отношение совпадает с фазовой скоростью одной из таких В. Простейшим примером служит трёхволновое взаимодействие, когда одновременно выполняются соотношения , (условия синхронизма). Эти соотношения выражают законы сохранения энергии и импульса при распадах и слияниях квантов поля: либо квант первой В. (накачки) распадается на два др. кванта, либо происходит слияние этих квантов в один. В одномерном случае изменение комплексных амплитуд таких В. описывается связанными ур-ниями:

где - групповые скорости, - постоянные коэф. нелинейности, * - обозначение комплексного сопряжения. Из ур-ний (32) следует, что суммарная энергия всех трёх В. сохраняется, однако [напр., для гармонических в пространстве В., когда A=A(t)] происходит периодич. перекачка энергии от первой В. ("накачки") к двум другим, и обратно. В "вырожденном" случав взаимодействия гармонич. В. с её 2-й гармоникой (т. е. когда ) возможен (в отсутствие потерь) и полный переход энергии из осн. частоты во 2-ю гармонику (но не наоборот). В системах с обратной связью (напр., резонаторах) возможна параметрич. генерация В. на более низких частотах за счёт энергии высокочастотной "накачки" на частоте (см. Параметрический резонанс ).Подобные эффекты наблюдаются для В. в плазме, световых и акустич. В. в кристаллах и т. д.; они используются, напр., в параметрических генераторах света (см. также Вынужденное рассеяние света, Мандельштама - Бриллюзна рассеяние). Аналогичные резонансные взаимодействия возможны для четырёх и более В.

В известном смысле, другой предельный случай составляют "однократные акты" взаимодействия локализованных (уединённых) нелинейных образований - ударных В. и солитонов в средах со слабой дисперсией. Напр., при "лобовом столкновении" одинаковых ударных В. от места взаимодействия расходятся ударные В., имеющие большую амплитуду, чем первичные, что приводит к сильному повышению давления в области взаимодействия (для линейных В. одинакового знака и величины давление увеличивается вдвое). Это справедливо и для случая падения ударной В. на жесткую преграду - рост давления более чем вдвое даёт дополнит. увеличение разрушит. действия В.

Взаимодействие солитонов тоже происходит сложным нелинейным образом, но, как уже говорилось, в ряде случаев солитоны выходят из этого взаимодействия сохранившими свою структурную цельность, что и говорит об их "частицеподобности".

Волны в активных средах. Классификацию волновых режимов в активных средах, способных снабжать В. энергией, проводят по аналогии с колебат. режимами в системах с сосредоточенными параметрами: усиления, генерации и т. д. Эти режимы могут возникать мягким или жёстким образом в зависимости от того, происходит ли их запуск с нулевых или конечных, пороговых, значений амплитуд. В мягком режиме система при определ. условиях оказывается неустойчивой и под действием сколь угодно малых флуктуации покидает равновесное положение. На нач. стадии она ведёт себя как линейная динамич. система с отрицат. трением, и возмущения в ней растут по экспоненц. закону, что соответствует комплексным значениям частот или волновых векторов, т. е., в отличие от систем с сосредоточенными параметрами, неустойчивость может развиваться и во времени, и в пространстве. Её дальнейшая судьба может сложиться двояко. Если возмущение, зародившись в одной области пространства, сносится в сторону, последовательно отбирая энергию от разных участков активной среды и увеличиваясь по амплитуде, то неустойчивость наз. конвективной. На огранич. интервалах пространства это приводит к конечному усилению В. Так действуют мн. усилители В. в природе (напр., В. на воде, "подгоняемые" ветром) и технике (напр., В. в электронной лампе бегущей волны, где сигналы, поступающие на вход, сносятся электронным потоком, усиливаясь по пути).

Др. возможность состоит в том, что возмущение растёт всюду, в т. ч. в месте его появления. Это - абс. неустойчивость, существующая благодаря наличию "внутренних" обратных связей, распределённых по всей активной системе. Примером может служить электронная лампа обратной волны, в к-рой возмущения, усиленные электронным потоком, переносятся эл--магн. полями в обратном направлении, подвергаясь многократному усилению. Конечно, в большинстве реальных систем чёткое разделение конвективных и абс. неустойчивостей оказывается невозможным; так, распределённый усилитель превращается в генератор при добавлении "внешней" обратной связи, если замкнуть этот усилитель в кольцо (соединить выхвд со входом) или ввести отражатели (зеркала), принуждающие возмущения многократно проводить через одни и те же участки активной среды. Так устроены лазеры, гиротроны и др. приборы с активными средами внутри резонаторов; сходным образом ведут себя упругие пластинки, обтекаемые потоком воздуха (флаттерная неустойчивость), и др.

Экспоненц. рост амплитуды возмущений не может длиться неограниченно: либо возмущение покидает активную область, либо наступает нелинейная стадия движения, к-рая может привести к установлению автоколебаний со стационарной амплитудой. Равновесие достигается в результате взаимокомпенсирующего действия нелинейности, диссипации и дисперсии. Так, рост В. может исчерпать энергетич. резерв среды или привести к росту потерь. Дисперсия, начиная с нек-рых амплитуд, может привести к выходу В. из режима синхронизации с "поставщиком энергии" (напр., электронным потоком), что приостановит рост амплитуды. При этом в случае сильной дисперсии "выживает" практически лишь одна гармоника, и стационарное движение представляет собой почти гармонич. В., а при слабой дисперсии форма возмущения сильно варьируется вплоть до пилообразных, прямоугольных и др. наборов импульсов. Их амплитуда, в отличие от ударных В. или солитонов в "пассивных" средах, не произвольна, а предопределяется параметрами активной системы.

Нелинейность может и ускорять поступление энергии к В.; тогда рост её амплитуды становится всё более быстрым (взрывная неустойчивость); ограничение такого роста обусловливается к--л. иными нелинейными механизмами.

Автоволны. В известном смысле, "крайним" случаем В. в активных средах можно считать автоволны, в к-рых энергия возмущения в данной точке черпается в основном из элементов среды, находящихся в окрестности этой точки, а перенос энергии В. приводит к последоват. "запуску" или переключению этих элементов, переводящему их из одного состояния в другое (триггерный механизм). Наглядным примером может служить "волна падения" в цепочке костяшек домино, поставленных стоймя: каждый элемент "запускается" толчком от предыдущего, а затем падает под действием собств. веса, т. е. за счёт собств потенц. энергии в поле тяжести. К автоволнам относят В. горения, В. детонации во взрывчатых веществах, импульсы возбуждения в нервных волокнах, а также В. эпидемий, экологич. происшествий и др. К ним можно отнести и старинный способ передачи сообщений с помощью последовательно зажигаемых светильников. "Обобществление" работы отдельных активных элементов в случае автоволн в распределённых системах обычно осуществляется за счёт процессов диффузионного типа.

Матем. моделью автоволновых процессов в одномерном случае обычно может служить система из двух (или более) нелинейных диффузионных ур-ний:

где D_1,2 - коэф. диффузии, f_1,2 - нелинейные ф-ции, описывающие поступление энергии к В. Напр., может отвечать перепаду потенциала на толщине мембраны нервного волокна, а - ионной проводимости мембраны. Динамика такой системы часто включает быстрые перебросы из одного состояния в другое в пространстве и времени, разделённые участками сравнительно медленной релаксации. Это может быть либо необратимый переброс между двумя устойчивыми состояниями (как в В. горения - рис. 20, а), либо перевод системы на короткий срок в возбуждённое состояние (нервный импульс - рис. 20, б), либо, наконец, автоколебат. процесс в виде периодич. последовательности таких перебросов (как в автоколебат. хим. реакциях - рис. 20, в).

Рис. 20. Виды автоволн: а - необратимая волна переброса; б - импульсное возбуждение с восстановлением исходного состояния; в - периодические автоколебания.

В нек-рых хим. и биологич. системах возможны своеобразные двумерные и трёхмерные автоволны в виде неподвижных источников в произвольных, ничем не выделенных точках среды или вращающихся спиральных структур - ревербераторов, к-рые, возможно, ответственны за возникновение фибрилляций сердца.

Взаимодействие автоволн происходит принципиально нелинейным образом. Две автоволны (В. пламени, хим. реакций) при встречном распространении могут гасить друг друга.

Случайные волны. В природе и технике часто возникают В. в виде набора синусоид, цугов или одиночных импульсов со случайно меняющимися амплитудами и фазами. Если фазы разл. В. никак не связаны между собой, то В. считаются некогерентными (см. Когерентность). В этом случае явления интерференции не проявляются: при наложении друг на друга таких сигналов складываются ср. квадраты их амплитуд (мощности). Типичный пример - тепловое излучение тел: от ламп накаливания до космич. источников (Солнце).

Несмотря на видимую запутанность отд. реализаций, случайные волновые поля могут подчиняться чётким закономерностям в отношении своих статистич. характеристик, напр. спектра мощности. Так, спектр интенсивности теплового эл--магн. излучения чёрного тела описывается Планка формулой (см. Планка закон излучения).

В линейных средах случайные волновые процессы обязаны существованием наличию шумовых источников, действие к-рых описывается, напр., случайной ф-цией в правой части волнового ур-ния (5). В нелинейных системах случайные поля могут возникать в результате взаимодействия В. Напр., при одноврем. выполнении резонансных условий для мн. гармонич. нормальных В. возникают сложные многокаскадные взаимодействия, перераспределяющие энергию по спектру вплоть до стохастизации процесса, т. е. образования ансамбля В. со случайными фазами и амплитудами - волновой турбулентности. Для поддержания такого ансамбля в реальной среде с диссипацией необходимы источники энергии - внешние или внутренние. В ряде случаев, однако, источники и стоки энергии действуют в одних областях спектра, а нелинейный обмен энергией между В.- в других (т. н. инерционных интервалах), что существенно облегчает описание волновой турбулентности. По-видимому, это относится, в частности, к определ. участкам спектра развитого ветрового волнения на морской поверхности, турбулизованной плазмы и др. Стохастич. поведение могут обнаруживать и ансамбли солитонов. Сохраняя структуру, солитоны случайным образом меняют взаимное расположение за счёт многократных взаимодействий между собой и с источником энергии (накачкой). Возможны также случайные ансамбли автоволн.

В активных нелинейных системах стохастич. поведение может быть присуще и небольшому числу В. Так, резонансное взаимодействие В. в активной среде в нек-рых случаях приводит. к движениям, образом к-рых является странный аттрактор ,и тогда соответствующие движения, по существу, неотличимы от случайных.

Лит.: Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., M., 1959; Крауфорд Ф., Волны, пер. с англ., 3 изд., M., 1984; Пирс Д. Р., Почти все о волнах, пер. с англ., M., 1976; Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., M., 1977; Виноградова M. Б., Руденко О. В., Сухорукое А. П., Теория волн, M., 1979; Пейн Г., Физика колебаний и волн, пер. с англ., M., 1979; Рабиновичи. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, M., 1984. М. А. Миллер, Л. А. Островский.

   <<      Предметный указатель      >>