Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
Тенденции развития искусственного интеллекта
Несомненно, все те, кому интересны новые технологии - ждут новостей о создании более современного и досконального искусственного интеллекта. Хотелось бы отметить, что по мере развития когнитивных технологий, подобные цели будут воплощаться еще быстрее. Реализация этих идей - сможет найти себя в реальной жизни Далее...

AI

вольтёрры уравнение

ВОЛЬТЁРРЫ УРАВНЕНИЕ - интегральное уравнение

1119917-375.jpg

(линейное интегральное В. у. 2-го рода), где f(x), К (х, s) - известные ф-ции, 1119917-376.jpg - искомая ф-ция, 1119917-377.jpg - комплексный параметр. Ф-ция f(x)наз. свободным членом, а ф-ция K(x, s) - ядром интегрального В. у. В. у. 2-го рода без свободного члена наз. однородным. Ур-ние

1119917-378.jpg

наз. линейным интегральным В. у. 1-го рода. В. у. можно рассматривать как частный вид Фредголъма уравнений, когда ядро К (х, s), задаваемое на квадрате 1119917-379.jpg , 1119917-380.jpg , обращается в нуль в треугольнике1119917-381.jpg Если f(x)непрерывно дифференцируема на [а, b], а 1119917-382.jpg и 1119917-383.jpg непрерывны в треугольнике 1119917-384.jpg и 1119917-385.jpg ни в одной точке, то В. у. 1-го рода (2) приводится к В. у. 2-го рода:

1119917-386.jpg

где

1119917-387.jpg

Впервые такие ур-ния систематически исследовал В. Вольтерра (V. Volterra) в 1896. В. у. обычно возникают в тех физ. задачах, где существует предпочтительное направление изменения независимой переменной, напр. выполняется причинности принцип; реакция системы в момент х определяется внеш. воздействием f(s) только в предшествующие моменты1119917-388.jpg Частным случаем В. у. 1-го рода являются Абеля интегральное уравнение ,ур-ния переноса и др.

Всякое интегральное В. у. (1) с непрерывным ядром К (х, s)при любом комплексном 1119917-389.jpg и непрерывном на отрезке [а, b] свободном члене f (х)имеет единств. решение1119917-390.jpg. Это решение непрерывно на [а, b] и представляется абсолютно и равномерно сходящимся рядом Неймана:

1119917-391.jpg

где

1119917-392.jpg

В частности, однородное В. у. 2-го рода имеет лишь тривиальное (суммируемое) решение1119917-393.jpg

Если ввести резольвенту R(t, s; 1119917-394.jpg), являющуюся для ограниченных ядер целой ф-цией параметра1119917-395.jpg:

1119917-396.jpg

где итерированные ядра 1119917-397.jpg определяются соотношением 1119917-398.jpg, то решение В. у. (1) равно1119917-399.jpg

Резольвента не зависит от ниж. предела и определена лишь для s < х.

Нелинейным В. у. наз. ур-ние, в к-ром произведение 1119917-400.jpg заменяется нелинейной относительно 1119917-401.jpg ф-цией 1119917-402.jpg. Коши задача для обыкновенного дифференц. ур-ния сводится к решению нелинейною В. у.

Лит.: Морс Ф., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т 1, M., 1958; Tрикоми Ф., Интегральные уравнения, пер. с англ., M., 1960: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1981. С. В. Молодцов.

  Предметный указатель