вольтёрры уравнение

ВОЛЬТЁРРЫ УРАВНЕНИЕ - интегральное уравнение

(линейное интегральное В. у. 2-го рода), где f(x), К (х, s) - известные ф-ции, - искомая ф-ция, - комплексный параметр. Ф-ция f(x)наз. свободным членом, а ф-ция K(x, s) - ядром интегрального В. у. В. у. 2-го рода без свободного члена наз. однородным. Ур-ние

наз. линейным интегральным В. у. 1-го рода. В. у. можно рассматривать как частный вид Фредголъма уравнений, когда ядро К (х, s), задаваемое на квадрате , , обращается в нуль в треугольнике Если f(x)непрерывно дифференцируема на [а, b], а и непрерывны в треугольнике и ни в одной точке, то В. у. 1-го рода (2) приводится к В. у. 2-го рода:

где

Впервые такие ур-ния систематически исследовал В. Вольтерра (V. Volterra) в 1896. В. у. обычно возникают в тех физ. задачах, где существует предпочтительное направление изменения независимой переменной, напр. выполняется причинности принцип; реакция системы в момент х определяется внеш. воздействием f(s) только в предшествующие моменты Частным случаем В. у. 1-го рода являются Абеля интегральное уравнение ,ур-ния переноса и др.

Всякое интегральное В. у. (1) с непрерывным ядром К (х, s)при любом комплексном и непрерывном на отрезке [а, b] свободном члене f (х)имеет единств. решение. Это решение непрерывно на [а, b] и представляется абсолютно и равномерно сходящимся рядом Неймана:

где

В частности, однородное В. у. 2-го рода имеет лишь тривиальное (суммируемое) решение

Если ввести резольвенту R(t, s; ), являющуюся для ограниченных ядер целой ф-цией параметра:

где итерированные ядра определяются соотношением , то решение В. у. (1) равно

Резольвента не зависит от ниж. предела и определена лишь для s < х.

Нелинейным В. у. наз. ур-ние, в к-ром произведение заменяется нелинейной относительно ф-цией . Коши задача для обыкновенного дифференц. ур-ния сводится к решению нелинейною В. у.

Лит.: Морс Ф., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т 1, M., 1958; Tрикоми Ф., Интегральные уравнения, пер. с англ., M., 1960: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1981. С. В. Молодцов.

   <<      Предметный указатель      >>