вращений группа

ВРАЩЕНИЙ ГРУППА - непрерывная группа преобразований пространства с фиксированной неподвижной точкой (центром вращений), оставляющих неизменным расстояние между двумя произвольными точками; сохраняются также углы между произвольными векторами. Для В. г. принято обозначение 0(п), где п - размерность пространства. В дальнейшем речь пойдет о физически интересной В. г. трёхмерного пространства О(3). Выделяют собственную группу вращений SO(3), к-рая в дополнение к свойствам, указанным выше, сохраняет ориентацию пространства (координатных осей). Полная В. г. разлагается в прямое произведение собственной В. г. и группы отражений (состоящей всего из двух элементов).

В ряде физ. задач имеет место инвариантность относительно В. г.; такой инвариантностью обладают, напр., Лапласа уравнение и однородное Гелъмголъца уравнение. Инвариантность относительно В.г. приводит к закону сохранения углового момента. Эта величина играет определяющую роль при классификации решений соответствующих ур-ний. Математически В. г. является одной из простейших компактных групп Ли.

Любое собственное трёхмерное вращение определяется заданием трёх непрерывно меняющихся параметров, так что вся группа SO(3) представляет собой трёхмерное многообразие, топологически эквивалентное трёхмерному проективному пространству (трёхмерной сфере с отождествлёнными диаметрально противоположными точками). Группа О(3)состоит из двух связных компонент, каждая из к-рых совпадает с SO(3). В качестве параметров удобно выбрать т.н. Эйлера углы

Связь новых координат со старыми имеет вид где

При последоват. выполнении двух вращений матрицы перемножаются.

Матрицы образуют одно из представлений В. г., наз. присоединённым. Матрица определяет преобразование при повороте не только самих координат, но и любых векторов: связь компонент вектора в старых координатах и в новых также определяется ф-лой (*). Существуют и др. представления В. г. Простейшее представление - скалярное: скаляры вообще не преобразуются при повороте. Более сложные представления связаны с преобразованием компонент тензоров второго и более высокого рангов. В пространстве дифференцируемых ф-ций , заданных на поверхности сферы единичного радиуса, базис представлений В. г. образуют сферические функции .Преобразование этого базиса при вращениях описывается матрицей представления, элементами которой являются Вигнера функции.

В квантовой механике важную роль играют представления, связанные с преобразованием при повороте волновой ф-ции системы с определ. значением углового момента J. Скалярное представление соответствует J=0, векторное - случаю J=1 (в единицах ), J=2 соответствует симметричному тензору второго ранга с равным нулю следом и т. д. Представлениями с определ. значением J исчерпываются все возможные представления SO(S).

Часто вводят также представления в виде матриц чётного ранга, связанные с преобразованием при повороте волновых ф-ций систем с полуцелым спином .Они не являются настоящими представлениями В.г., т. к. волновая ф-ция при повороте на вокруг нек-рой оси меняет знак. Причина этого в том, что полуцелый спин не описывается последовательно в рамках нерелятивистской квантовой механики, для его описания следует привлекать Лоренца группу. Однако в ряде задач, когда все релятивистские явления сводятся к наличию спина, можно рассматривать двузначные представления В.г., где каждому вращению соответствует не одна унитарная матрица, а две, различающиеся знаком матрицы. Двузначным (спинорным) представлениям SO(3) соответствуют истинные представления накрывающей группы SU(2).

Произведение неприводимых представлений В. г. не является неприводимым, но может быть разложено в прямую сумму неприводимых представлений. Коэф. этого разложения (Клебша - Гордана коэффициенты.)используют в квантовой механике при вычислении матричных элементов разл. операторов и при построении волновых ф-ций составных систем.

Вращение на малый угол можно представить в виде , где - матрица вращения в нек-ром представлении, -малые углы поворота в трёх независимых плоскостях, а -фиксиров. матрицы, к-рые в данном представлении наз. генераторами В. г. В квантовой механике генераторы В. г. имеют наглядный физ. смысл и совпадают с операторами углового момента Некоммутативность В. г. отражается в том факте, что коммутатор отличен от нуля при .

Отметим, что в нек-рых физ. задачах находят применение и группы О(п)с n>3. Так, группа О(4) оказалась полезной при классификации состояний атома водорода, в теории гравитации интерес представляет связанная с группой О(5) де Ситтера группа, при попытках построения единой квантовой теории поля используют В.г. высших размерностей вплоть до О (32).

Лит.: Любарский Г. Я., Теория групп и её применение в физике, M., 1958; Гельфанд И. M., Минлос P. А., Шапиро 3. Я., Представления группы врашений и группы Лоренца и их применения, M., 1958; Юцис А. П Левинсон И. Б., Ванагас В. В., Математический аппарат теории момента количества движения, Вильнюс, 1960; Петрашень M. И., Трифонов E. Д., Применение теории групп в квантовой механике, M., 1967. А. В. Смилга.

   <<      Предметный указатель      >>