вынужденные колебания

Наиб. просты В. к. в линейных системах. Так, при действии периодич. внеш. силы на линейную систему возбуждаются колебания, к-рые являются суперпозицией собственных (нормальных) колебаний и В. к. По истечении нек-рого времени в результате диссипации собственные колебания затухают и в системе устанавливаются В.к., имеющие ту же частоту, что и внеш. сила. Пример В. к. в линейной системе с одной степенью свободы - электрич. колебания в контуре, состоящем из индуктивности L, ёмкости С и сопротивления R, на к-рый действует сторонняя ЭДС . Эта система описывается ур-нием

где х - заряд конденсатора. Установившиеся В. к. определяются частным решением приведённого ур-ния

где

T. о., эти В. к. представляют собой гармонические колебания с частотой внеш. силы, амплитуда к-рых X₀ определяется амплитудой и частотой внеш. силы и параметрами системы, а фаза - только частотой внеш. силы и параметрами системы. Наиб. значение амплитуда В. к. достигает при приближении частоты внеш. силы к значению частоты собственных колебаний системы, когда наступает резонанс.

При периодической, но негармонической внеш. силе В. к. в линейной системе представляют собой суперпозицию колебаний, соответствующих отдельным гармонич. составляющим внеш. силы.

В линейных связанных системах со мн. степенями свободы характер В. к. усложняется, в частности возбуждение В. к. и резонансные явления наступают при приближении частоты внеш. силы к одной из частот нормальных колебаний. При этом возможны случаи, когда резонанс на нек-рых нормальных частотах отсутствует,- это имеет место, если внеш. сила "ортогональна" собств. колебанию, т. е. приложена т. о., что колебания с соответствующей конфигурацией не возбуждаются (напр., сила приложена в узле колебания).

В. к. в линейных распределённых системах, обладающих бесконечным числом степеней свободы, сохраняют типичные черты В. к. в системах со мн. степенями свободы. При частоте внеш. воздействия , совпадающей с одной из собств. (нормальных) частот системы, имеет место резонансное нарастание амплитуды колебаний с частотой , тем большее, чем меньше затухание . В безграничной линейной распределённой системе со сплошным спектром бегущих нормальных волн и волновыми числами, определяемыми дисперсионным ур-нием , резонансное возбуждение соответствует близости (равенству) фазовых скоростей одной из нормальных волн среды и волны возбуждающей силы ("пространственный" резонанс или синхронизм).

При действии внеш. силы на нелинейную систему характер имеющих место в системе колебаний существенно сложнее. Так, наряду с колебаниями, имеющими частоту внеш. силы, здесь могут появиться колебания др. частот, напр. возможно возникновение разл. гармоник внеш. силы, параметрич. возбуждение субгармоник и даже возбуждение автоколебаний. "Нелинейному резонансу" присуща зависимость резонансной частоты от амплитуды колебаний, возможность скачкообразного изменения амплитуды колебаний при медленном изменения частоты. Спектр колебаний в нелинейной системе может значительно отличаться от спектра внеш. воздействия и даже может стать сплошным, несмотря на монохроматичность внеш. воздействия (см. Стохастические колебания). Сложность колебаний в нелинейной системе при действии внеш. сил даёт возможность выделить в таких системах класс В. к. только в простых частных случаях; в общем случае в нелинейных системах разделение В. к. и др. видов колебаний теряет смысл.

Лит.: Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., M., 1964; Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Механика, 3 изд , M., 1973, Xаяси Т., Нелинейные колебания в физических системах, пер. с англ., M., 1968; Mандельштам Л. И., Лекции по теории колебаний, M., 1972; Основы теории колебаний, M., 1978; Рабиновичи. И., Tрубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, M., 1984. В. Д. Шалфеев.

   <<      Предметный указатель      >>