вырожденная гипергеометрическая функция

ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - решение вырожденного (конфлюэнтного) гипергеом. ур-ния

регулярное в окрестности точки z=0 комплексной плоскости при , -1, -2,. . . и любых значениях Впервые исследована Э. Куммером (E. Kummer) в 1836. В круге любого конечного радиуса В. г. ф. 1-го рода можно задать с помощью сходящегося ряда Куммера

где . Вторым линейно независимым решением ур-ния (1) при , 1, 2,. . . является В. г. ф. 2-го рода:

Для В. г. ф. 1-го рода при справедливо интегральное представление

а для В. г. ф. 2-го рода при

Ф-ция -целая аналитич. ф-ция z; - аналитич. ф-ция в комплексной плоскости z с разрезом вдоль веществ. оси при z<0. B. г. ф. связаны с гипергеометрической функцией соотношением:

Для ф-ции справедливо асимптотич. разложение Справедливы ф-лы дифференцирования:

Любые 3 ф-ции в случае, когда являются целыми числами, связаны соотношениями , где - нек-рые полиномы по переменной z. Аналогичное утверждение справедливо для ф-ций Имеют место также функциональные соотношения, напр.

Через В. г. ф. выражаются мн. элементарные и спец. ф-ции, напр. цилиндрич. ф-ции, интегральные ф-ции. При , где п - целое положит. число, В. г. ф. сводятся к полиномам, к-рые с точностью до пост. множителя совпадают с обобщёнными полиномами Лагерра (см. Ортогональные полиномы).

Лит.: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 1, M., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики. 2 изд., M., 1984.

   <<      Предметный указатель      >>