гамильтона уравнения

ГАМИЛЬТОНА УРАВНЕНИЯ (канонические уравнения механики) - дифференциальные ур-ния движения голономной механич. системы в канонич. переменных, к-рыми являются s обобщённых координат q_i и s обобщённых импульсов p_i, где s - число степеней свободы системы. Выведены У. P. Гамильтоном (W. R. Hamilton) в 1834. Для составления Г. у. надо в качестве характеристич. ф-ции системы знать Гамильтона функцию Н(g_i, р_i, t), где t - время. Тогда, если все действующие на систему силы потенциальны, Г. у. имеют вид

Если наряду с потенциальными на систему действуют непотенциальные силы F, то к правым частям 2-й группы ур-ний (*) надо прибавить соответствующие обобщённые силы Q_i. Ур-ния (*) представляют собой систему 2s обыкновенных дифференц. ур-ний 1-го порядка, интегрируя к-рые можно найти все q_i и p_i как ф-ции времени t и 2s постоянных интегрирования, определяемых по нач. данным. Решение системы ур-ний (*) можно также свести к отысканию полного интеграла соответствующего ей ур-ния в частных производных (см. Гамильтона - Якоби уравнение).

Если одна из координат q_i, напр. q₁, является циклич. координатой, т. е. явно не входит в выражение ф-ции Н, то =0 и одно из ур-ний (*) даёт сразу интеграл , где - постоянная. Особый интерес представляет случай, когда все координаты циклические, а ф-ция явно не зависит от времени (силовое поле и наложенные связи стационарны). Тогда все , т. е. постоянны; следовательно, ф-ции и тоже постоянны, и 1-я группа ур-ний (*) даёт , откуда , где , C_i - новые постоянные. Ур-ния в этом случае интегрируются элементарно и все координаты являются линейными ф-циями времени. Отсюда следует, что задачу интегрирования Г. у. можно свести к задаче отыскания для системы циклич. координат. Это, в принципе, возможно, т. к. Г. у. обладают тем важным свойством, что они допускают переход с помощью т. н. канонических преобразований от переменных q_i, р_i к новым переменным Q_i(q_i, р_i, t), P_i(q_i, р_i, t), которые также являются каноническими и удовлетворяют уравнениям (*) с соответствующей функцией H(Q_i, P_i, t).

Равноправность в Г. у. координат и импульсов как независимых переменных, а также инвариантность этих ур-ний по отношению к канонич. преобразованиям открывают большие возможности для обобщений. Поэтому Г. у. имеют важные приложения не только в механике, но и во многих др. областях физики, напр. в статистич. физике, квантовой механике, электродинамике и др.

Лит. см. при ст. Динамика, Действие. С. M. Тарг.

   <<      Предметный указатель      >>