гамильтонов формализм

ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ - основанная на вариац. принципе формулировка механики и теории поля, в к-рой состояние системы задаётся обобщёнными координатами q_i и обобщёнными импульсами p_i (i=1, 2, . . ., N, где N - число степеней свободы). Описываемая Г. ф. динамическая система наз. гамильтоновой системой, а пространство её состояний - фазовым пространством. В Г. ф. действие

выражается через ф-цию Гамильтона H (точкой обозначено дифференцирование по времени; р, q-совокупность всех р_i,q_i). H является преобразованием Лежандра ф-ции Лагранжа L: , где в правой части следует выразить через р_i, разрешив относительно определение импульсов:

Г.ф. и лагранжев формализм полностью эквивалентны, если определено преобразование Лежандра, т. е. если

В наименьшего действия принципе =0 независимыми вариациями в (1) считаются и , причём . Тогда стандартные Эйлера - Лагранжа уравнения дают в качестве ур-ний движения Гамильтона уравнения

В Г.ф. любая динамич. переменная f является ф-цией канонич. переменных р, q (и, возможно, времени). Её полная производная по времени вследствие ур-ний Гамильтона имеет вид , где-Пуассона скобка двух динамич. переменных f и g. He зависящая явно от времени переменная f сохраняется, если её скобка Пуассона с H обращается в нуль.

Г.ф. допускает широкий класс замен переменных в фазовом пространстве - канонические преобразования, при к-рых ур-ния Гамильтона и скобка Пуассона не меняются.

Переход от лагранжева к Г.ф. осложняется, когда определения импульсов (2) не разрешимы относительно всех , т. е. когда =0. Эта ситуация всегда возникает в калибровочных теориях, в к-рых L вообще не зависит от нек-рых , или в теориях со связями (q) = 0 (m = 1, ..., M), где обычная замена вводит дополнит. координаты и L_Т снова не зависит от . В обоих случаях вытекающие из определения импульсов соотношения представляют собой простейший пример "гамильтоновых" связей.

В общем случае, когда ранг матрицы равен N - M, M > 0, требование непротиворечивости ур-ний (2) приводит к M соотношениям (р, q)=0, к-рые наз. первичными связями в Г. ф. Стандартные ур-ния Гамильтона на поверхности связей , определяемой соотношениями , будут полностью эквивалентны лагранжевым ур-ниям движения, если их записывать для ф-ции

,

где - произвольные множители (вообще говоря, не выражающиеся только через переменные р,q):

На поверхности связей не определённые скобки Пуассона с q_i и р_i- не дают вклада в правые части.

Для непротиворечивости такого Г. ф. необходимо, чтобы временная эволюция не выводила за поверхность , т. е. чтобы на . Если это требование не выполняется, необходимо сузить, наложив новые, "вторичные" связи. Процедуру их нахождения предложил П. Дирак (P. Dirac).

Для выполнения условия на достаточно, чтобы скобки оказались линейными комбинациями связей с нек-рыми коэф. :

Это - система ур-ний на коэффициенты ; если ранг матрицы на меньше , система определяет только из коэффициентов и возникает условий непротиворечивости. Часть из них может автоматически удовлетворяться на , а остальные образуют "вторичных" связей , . Их следует добавить к первичным, определив новую поверхность :=0, j=1, ..., M, ,.., M + и потребовав, чтобы на . Процедура повторяется, пока не перестанут возникать новые вторичные связи. Полная совокупность связей = 0, j -1, ..., M, ..., М++...+=J уже удовлетворяет требованиям непротиворечивости Г. ф.: на суженной поверхности . Более того, все связи можно вставить в ф-цию Гамильтона: в качестве генератора эволюции "полная ф-ция Гамильтона" Hf не отличима на от

.

Все связи разбиваются на два класса, с K=J - S и S элементами, где S - (чётный) ранг матрицы на . К связей удовлетворяют условиям

и наз. связями I рода (-нек-рые ф-ции переменных р, q). Остальные S связей-II рода - не удовлетворяют условиям (4), а матрица для них имеет обратную, . Записанные для Н* условия непротиворечивости Г. ф.

фиксируют S из коэффициентов : '

Подстановка этих значений в H* эквивалентна замене скобки Пуассона скобкой Дирака

в законе эволюции: . При этом, поскольку для любой ф-ции f(р, q)выполняются автоматически соотношения =0, связи II рода можно наложить явно, считая =0 во всех ф-циях f.

Конкретная реализация процедуры Дирака неоднозначна: вместо связей II рода можно взять любой эквивалентный набор, если только det A_jj'K0 . В частности, в принципе можно подобрать ' так, чтобы матрица приобрела канонич. вид , где I- единичная матрица ранга S/2.

Затем канонич. преобразованием в полном фазовом пространстве Г можно перейти от первонач. переменных (р, q)к новым , в к-рых первые S/2 пар -связи II рода. В новых переменных скобка Дирака приобретёт пуассонов вид: а связи II рода окажутся полностью исключёнными, повлияв лишь на выбор переменных р', q'. B этих переменных эволюцией управляет ф-ция Гамильтона , включающая лишь связи I рода, находящиеся в инволюции (т. е. скобки Пуассона связей выражаются через линейную комбинацию самих связей):

Гамильтоново описание ведётся теперь в (2N -S)-мер-ном пространстве Г' канонич. переменных р', q'. В нём участвуют К произвольных ф-ций ; изменение не приводит к изменению состояния или закона эволюции, а сводится к канонич. калибровочному преобразованию, генератором к-рого является связь . Наблюдаемыми величинами естественно считать не все ф-ции f(р',q')на поверхности , определённой условиями = 0, а лишь те, на эволюции к-рых не сказывается произвол в . Для этого достаточно, чтобы , т.е.

при этом . Такие ф-ции зависят не от всех 2N -S - К координат на . Если считать (6) системой дифференц. ур-ний для f, то (5) будут условиями её разрешимости и f определится своими значениями на подмногообразии Г* нач. условий, размерности 2N - S - 2K - 2N - J - К. Г* обычно задают на ур-ниями , наз. дополнит. условиями. Как и в случае связей II рода, переходом к эквивалентным связями выбором дополнит. условий всегда можно добиться того, чтобы , , т. е. чтобы новые связи и дополнит. условия годились на роль канонич. переменных. Канонич. преобразование в Г' от (p';q')к достраивает остальные переменные р*, q^*, служащие независимыми координатами на физ. фазовом пространстве Г*. Для ф-ций, удовлетворяющих системе ур-ний (6), скобка Пуассона выражается только через . T. о., существуют два эквивалентных описания гамильтоновой системы со связями: в полном фазовом пространстве Г со скобкой Дирака и ф-цией Гамильтона H* и в физ. фазовом пространстве Г* со скобкой Пуассона и ф-цией Гамильтона.

Первый способ технически проще, поскольку на практике не всегда удаётся явно построить необходимые для второго способа канонич. преобразования. Однако принципиальная возможность второго способа служит обоснованием метода функционального интеграла для систем со связями.

Для теорий с высшими производными, когда L= , переход от лагранжева к Г. ф. осуществляется введением новых координат , A=1, ..., п, и связей :

При этом возникают 2 (n-1) гамильтоновых связей II рода: , . Для ф-ций переменных P, Q скобка Дирака совпадает со скобкой Пуассона, a H* имеет вид

При k<n ур-ния Гамильтона для Q_k эквивалентны лагранжевым связям, а для P_k - иному определению импульсов:

В релятивистской теории осн. проблемой Г. ф. является удовлетворение требованиям релятивистской инвариантности. Как и в лагранжевом формализме, здесь требование инвариантности действия относительно преобразований симметрии позволяет с помощью Нетер теоремы построить соответствующие сохраняющиеся величины как явные ф-ции канонич. переменных и . В частности, инвариантность действия относительно преобразований из группы Пуанкаре приводит к сохранению четырёх компонент энергии-импульса P_m и шести компонент момента , где, напр.,

i=l, 2, 3. Эти величины являются генераторами трансляций и вращений в четырёхмерном пространстве времени, реализованными как генераторы соответствующих канонич. преобразований в фазовом пространстве системы. Напр., для любой ф-ции ] имеем

(где ).

Непосредств. проверка инвариантности действия в Г. ф. затруднительна ввиду явной нековариантности определений и H. Однако, поскольку преобразования Пуанкаре образуют группу Ли (см. Группа ),генераторы должны удовлетворять соотношениям её алгебры:

( - метрич. тензор), представляющим собой условие релятивистской ковариантности Г. ф. Часть этих соотношений удовлетворяется автоматически, а остальные налагают существ. ограничения на вид H и др. генераторов группы Пуанкаре.

Г. ф. играет принципиальную роль в процедуре квантования, стандартным рецептом к-рой является замена скобок Пуассона {f, g} коммутатором операторов, отвечающих наблюдаемым f и g. При этом приходится решать две проблемы. Первая состоит в выборе порядка операторов , отвечающих канонич. переменным, в выражениях . Квантовый аналог классич. системы уже поэтому неоднозначен. Вторая связана с выбором канонических переменных, для к-рых постулируются канонич. перестановочные соотношения . В классической теории равноправны любые наборы (р, q), связанные каноническим преобразованием. В квантовой теории разные выборы канонически квантуемых переменных приводят, вообще говоря, к разным результатам. Иногда критерии выбора существуют. Например, для системы, прообразом которой служит система материальных точек, преимущественными являются декартовы координаты и соответствующие импульсы. Для полевых систем "неправильный" выбор может привести к противоречиям.

Совершенно разный смысл приобретают при квантовании связи I и II рода. Связи II рода налагаются как соотношения для отвечающих им операторов, а связи I рода могут налагаться только как дополнит. условия на векторы состояния, выделяющие физ. подпространство таких векторов.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Теория поля, 6 изд., M., 1973: их же, Механика, 3 изд., M., 1973; Дирак П. A. M., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., M., 1979; Фаддеев Л. Д., Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов, "ТМФ", 1069, т. 1, с. 3; Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., M., 1979; Медведев Б. В., Начала теоретической физики, M., 1977; Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, M., 1978; Коноплева H. П., Попов В. H., Калибровочные поля, M., 1980. Б. В. Медведев, В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>