гамильтонова система

ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА - частный случай динамической системы, описывающей физ. процессы без диссипации; соответствующие дифференц. ур-ния можно представить в след. симметричной форме (Гамильтона уравнения:)

где H (р, q, t), наз. Гамильтона функцией, имеет обычно смысл энергии системы, а q_i и р_i - обобщённые координаты и импульсы, п - число степеней свободы системы. Ниже рассматриваются автономные Г. с., в к-рых ф-ция H не зависит явно от времени t. В каждой точке (р, q) фазового пространства вектор задаёт поле фазовой скорости, касательное к фазовым траекториям. Возникает наглядный образ движения Г. с. как фазового потока. Фазовый поток сохраняет элемент объёма в фазовом пространстве, т. е. при движении по траекториям системы (*) фазовый объём не меняется (Лиувилля теорема ).Отсюда следует, что Г. с. в фазовом пространстве не может иметь множеств, к к-рым все траектории из целой области притягиваются асимптотически. Более того, почти все траектории, совершающие финитное движение, являются неблуждающими, т. е. почти всякая движущаяся точка многократно возвращается в окрестность своего исходного положения (Пуанкаре теорема о возвращении).

Производная ф-ции F (р, q)по направлению вектора фазовой скорости в данной точке (р, q)определяет изменение F вдоль траектории и равна где наз. скобкой Пуассона ф-ций F и H. Если , т. е. , то F не меняется вдоль траекторий и является первым интегралом (интегралом движения) системы (*). В частности, интегралом системы (*) является ф-ция H, поэтому фазовое пространство Г. с. расслаивается на гиперповерхности H=h=const; траектория, начинающаяся на данной гиперповерхности, никогда её не покидает. Дополнит. интегралы Г. с. часто получаются как следствие инвариантности H относительно нек-рой группы преобразований (см. Нетер теорема). Напр., пусть ф-ция H инвариантна относительно сдвигов s вдоль оси q₁, т. е.

для любого s. Тогда H не зависит от q₁, поэтому и F (р, q)=p₁ - интеграл движения; координата q₁ наз. в этом случае циклической.

Интегрируемые системы являются простейшим типом Г. с. Они имеют, кроме ф-ции H=H₁, ещё п-1 интегралов H₂,..., H_n, причём попарные скобки Пуассона . Интегрируемость приводит к след. картине движения Г. с. Пусть градиенты ф-ций H_i линейно независимы в изучаемой области фазового пространства, а движение финитно и происходит внутри области. Любая траектория остаётся в пересечении гиперповерхностей с фиксиров. h_i. Компонента этого пересечения топологически эквивалентна n-мерному тору Tⁿ (T¹ - обычная окружность, T² - произведение двух окружностей, поверхность "бублика", стандартный тор Tⁿ - это множество в , к-рое при проекции на каждое R² даёт окружность). Можно так аадать циклич. координаты на торе Tⁿ, что движение по тору определяется ур-ниями , i=1, . . ., n, где - вектор частот, т. е. движение условно-периодично. Вся область, где градиенты H_i линейно независимы, расслоена на такие торы, можно ввести спец. координаты (переменные действие - угол), в к-рых H=H(I).

Движение на самом торе зависит от частот (к-рые, вообще говоря, меняются от тора к тору). Если между частотами нет линейных зависимостей вида с целыми коэф., то траектория подходит сколь угодно близко к любой точке тора. Если же существуют соотношения (т. н. резонанс частот), то n-мерный тор Tⁿ расслаивается на торы меньшей размерности T^k, п - k равно числу независимых линейных соотношений.

Строение множества

содержащего точки, где градиенты ф-ций H_i зависимы, может быть различным. В частности, оно может содержать вырожденные торы (размерности меньшей п), к к-рым асимптотически приближаются др. траектории, образуя т. н. "усатый", или седловой, тор. Вырожденным случаем седлового тора является седловое периодич. движение Г, к-рое изображено на рис. 1 пунктирной линией.

Неинтегрируемые системы. Обычно интегрируемые Г. с. получаются при нек-рых спец. значениях параметров, входящих в H. Пусть, для простоты, имеется один малый параметр e и при система интегрируема. Тогда в области, где введены переменные действие - угол , её ф-цию Гамильтона можно записать в виде . А. Пуанкаре (H. Poincare) считал изучение такой Г. с. "осн. задачей динамики". Движение в такой Г. с. для большинства нач. условий описывается КАМ-теорией [A. H. Колмогоров, В. И. Арнольд, Ю. Мозер (J. Moser)]. При малых e осн. часть торов интегрируемой Г. с. сохраняется, лишь слегка деформируясь; движение на каждом таком торе остаётся условно-периодическим. Но разрушение структуры интегрируемой Г. с. всё же происходит, одной из его причин является расщепление ранее совпадавших устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодич. движений (см. периодич. траекторию Г на рис. 1). В окрестности этого множества образуется т. н. стохастич. слой, движение внутри к-рого крайне нерегулярно и практически неотличимо от случайного. Нек-рое представление о нём даёт рис. 2, где представлено поведение следов устойчивого и неустойчивого многообразий седловой траектории Г на секущей площадке П (см. рис. 1). Кроме стохастич. слоев, возникающих в окрестности седловых периодич. движений, образуются также стохастич. слои (гораздо более узкие) из-за разрушения нек-рой малой части торов, в первую очередь тех, движение на к-рых было чисто периодическим ( , n_i - целые, i=l, . . ., п). При разрушении такого тора образуется "гирлянда" из седловых и устойчивых периодич. движений (см. рис. 3). Устойчивые многообразия седловых периодич. движений пересекаются, и образуется стохастич. слой. T. о., фазовое пространство Г. с., близкой к интегрируемой, характеризуется свойством разделённости: в б. ч. его движение похоже на поведение интегрируемой Г. с., траектории лежат на торах, заполненных условно-периодич. траекториями. В то же время в нек-рой части движение приобретает свойства случайного процесса (квазислучайно).

Рис. 1. Часть трёхмерного уровня энергии.

Следует отметить, что в случае двух степеней свободы сохраняющиеся при малых двумерные торы перегораживают трёхмерный уровень энергии Н=const, поэтому имеется нек-рая устойчивость (по переменным действия): стохастич. слои между собой не перекрываются. Однако при n/3 возникает неустойчивость, к-рая при сколь угодно малом позволяет траектории из одного стохастич. слоя переходить в другой и тем самым уходить далеко по I (диффузия Арнольда). Скорость такой диффузии экспоненциально мала (по), но всё же на больших временах устойчивость она нарушает. Нек-рые численные эксперименты на ЭВМ показывают, что с ростом e всё большее число торов разрушается и в конце концов стохастич. движение системы происходит по всему трёхмерному уровню энергии H=const. При такой "развитой" стохастичности движение обладает свойством эргодичности, т. е. для любой ф-ции F(p,q)среднее по времени равно среднему по пространству (по объёму на уровне энергии, к-рый также сохраняется; см. Эргодическая теория).

Рис. 2. Стохастический слой.

Рис. 3. Разрушенный тор.

Обобщения. В общем случае для задания Г. с. на чётномерном пространстве размерности 2га нужно определить скобку Пуассона любых двух ф-ций f, g, удовлетворяющую обычным свойствам билинейности, антисимметричности и невырожденности, а также тождеству Якоби. В локальных координатах х_i эта операция имеет вид , причём матрица невырождена, и выполняется тождество

где -обратная матрица. Выбирая теперь произвольную ф-цию H (х), можно определить для каждой ф-ции f(х)её траекторию F(х,t), F(x,0)=f(x), из ур-ния . Это линейное однородное ур-ние с частными производными 1-го порядка, характеристиками к-рого являются ур-ния Гамильтона . Около каждой точки можно так ввести координаты, что в них матрица примет стандартный вид , где E-n-мерная единичная матрица. Обозначая x_k=p_k, x_n+k=q_k получим канонически сопряжённые переменные, в к-рых Г. с. запишется в виде (*).

Следуя этой схеме, можно перенести понятие Г. с. на распределённые системы, описывающие классич. поля. Примером может служить Кортевега - де Фриса уравнение . В качестве фазового пространства выбирают убывающие на бесконечности ф-ции , для к-рых существует функционал

играющий роль функции Гамильтона. Скобку Пуассона функционалов определяют равенством

где означает функциональную производную. Тогда ур-ние Кортевега - де Фриса переписывается в виде , т. е. представляет собой Г. с., имеющую к тому же бесконечный набор интегралов. Распределёнными (и даже интегрируемыми) Г. с. являются также Шрёдингера уравнение нелинейное, синус-Гордона уравнение и описывающие намагниченность одноосного ферромагнетика Ландау - Лифшица уравнения.

Лит.: Mозер Ю., Лекции о гамильтоновых системах, пер. с англ., M., 1973; Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., M., 1979; Теория солитонов, M., 1980; Лихтенберг А., Либерман M., Регулярная и стохастическая динамика, пер. с англ., M., 1984.

Л. M, Лерман.

   <<      Предметный указатель      >>