гармоническая функция

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - функция, непрерывная со своими вторыми производными в области G и удовлетворяющая в G Лапласа уравнению =0. Г. ф. возникают при решении задач электростатики, теории тяготения, гидродинамики несжимаемой жидкости, теории упругости и др. Г. ф. являются, напр., потенциалы сил в точках вне источников их поля, потенциал скоростей несжимаемой жидкости. Простейшим примером Г. ф. служит фундам. решение ур-ния Лапласа, описывающее потенциал точечного источника. Любую Г. ф. можно представить в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев, выражающихся через значения Г. ф. и и её нормальной производной : если r - расстояние от любой точки P₀ внутри G до переменной точки P на границе S, то в случае трёх измерений

Для Г. ф. справедлив принцип экстремума: ф-ция, гармоническая внутри G и непрерывная в замкнутой области G+S, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на S, кроме того случая, когда эта ф-ция постоянна. Этот принцип позволяет устанавливать общие свойства физ. величин, не прибегая к вычислениям. Напр., в электростатике из него следует теорема Ирншоу. Удобный метод решения задач для Г. ф. на плоскости даёт теория ф-ций комплексного переменного z=x+iy. Если w=u+iv - аналитическая ф-ция от z в G, то и(х, у)и v(х, у)являются Г. ф. в G. Поэтому мн. задачи удаётся решить с помощью конформного отображения области G в нек-рую стандартную область (круг, полуплоскость). Граничные условия для Г. ф. определяют соответствующие краевые задачи, из к-рых чаще встречаются первая краевая задача, или Дирихле задача ,когда на границе S Г. ф. принимает заданные значения, и вторая краевая задача, или Неймана задача, когда в каждой точке S задана нормальная производная Г. ф.

Лита.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 21 изд., M., 1974; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд , M., 1966.

   <<      Предметный указатель      >>