гаусса принцип

ГАУССА ПРИНЦИП (принцип наименьшего принуждения) - вариационный принцип механики, устанавливающий одно из общих свойств движения механич. системы с любыми (голономными и неголономными) идеальными связями (см. Связи механические). Сформулирован К. Ф. Гауссом в 1829. Выражаемое Г. п. свойство движения связано с понятием о т. н. "принуждении" системы, вводимом след. образом. Если рассмотреть свободную материальную точку массой т, то она под действием заданной силы F совершит за промежуток времени из положения А перемещение, определяемое с точностью до малых 3-го порядка вектором:

где - скорость точки в положении А, - ускорение, сообщаемое силой.

При наличии связей та же точка под действием той же силы и реакции связи получит какое-то др. ускорение (часть ускорения, равная , будет точкой "потеряна") и совершит за время из того же положения А и при той же нач. скорости др. перемещение:

Разность определяет вызванное действием связи отклонение точки от направления свободного движения, пропорциональное потерянному ускорению . Величина Z, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их потерянных ускорений, и наз., по Гауссу, "принуждением" системы:

Г. п. устанавливает, что при идеальных удерживающих связях из всех кинематически возможных (допускаемых связями) движений, к-рые система может иметь, начиная перемещение из данной конфигурации с данными нач. скоростями, истинным будет то движение, для к-рого Z в каждый момент времени минимально. Напр., для частицы, движущейся вдоль наклонной плоскости под действием силы тяжести из положения А при v₀=0 (рис.), свободным будет пере мещение AB по вертикали, а кинематически возможным при данной связи - любое из перемещений AC₀, AC₁, AC₂, . . . вдоль наклонной плоскости. Следовательно, "принуждение" Z для частицы пропорционально квадрату величины BC_i, к-рая, очевидно, будет наименьшей для истинного перемещения AC₀ (по линии наименьшего ската), что и утверждает Г. п.

Математически Г. п. выражается равенством Z=0, в к-ром варьируются только ускорения точек системы; при этом предполагается, что силы от ускорения не зависят. Тогда из (1) можно получить др. выражение Г. п.: истинное движение механич. системы отличается от всех др. кинематически возможных движений, начинающихся из той же конфигурации и с теми же нач. скоростями, тем, что только для истинного движения в каждый данный момент времени справедливо равенство:

С помощью Г. п. можно получить дифференц. ур-ния движения любой механич. системы с идеальными связями. В частности, из него следует, что при отсутствии заданных сил точка будет двигаться вдоль данной гладкой поверхности по кривой, имеющей наименьшую кривизну. Это указывает на связь Г. п. с принципом прямейшего пути (см. Герца принцип).

Лит.: Бухгольц H. H., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 6 изд., M., 1972; Леви-Чивита Т., Амальди У., Курс теоретической механики, пер. с итал., т. 2, ч. 2, M., 1951; Невзглядов В. Г., Теоретическая механика, M., 1959. С. M. Тарг.

   <<      Предметный указатель      >>