геодезическая линия

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ (от греч. gеоdaisia, букв.- деление Земли) - геом. понятие, обобщающее представление о прямой линии в евклидовом пространстве на случай пространств более общего вида (искривлённых поверхностей в евклидовом пространстве, римановых пространств, дифференцируемых многообразий с линейной связностью и т. п.). Конкретное определение Г. л. зависит от геом. структуры рассматриваемого пространства. В случае дифференцируемых многообразий с линейной связностью Г. л.- кривая , вдоль к-рой касательный вектор переносится параллельно (=1,2, . . ., N, где N - размерность пространства). При спец. выборе параметра (аффинный параметр на Г. л.) условие параллельного переноса принимает вид

где точкой с запятой обозначена ковариантная производная .С помощью коэф. связности ур-ние (1) переписывается в форме

В римановом пространстве с метрикой g_mn и элементом длины коэф. связности (Кристоффеля символы)выражаются через след. образом:

В этом случае локально эквивалентное определение Г. л. можно ввести с помощью вариац. принципа. Под Г. л., соединяющей точки P₁ и P₂ риманова пространства, понимается кривая экстремальной длины. Условие экстремальности функционала

записывается в виде ур-ния Эйлера - Лагранжа

что с учётом соотношения (3) эквивалентно условию параллельного переноса касательного вектора (2). T. о., в малой области риманова пространства Г. л. является не только "прямейшей", но и кратчайшей кривой между двумя точками. Аналогично определяются Г.л. на искривлённых поверхностях, вложенных в евклидово пространство большей размерности. Поведение Г. л. в римановом пространстве аналогично поведению прямых в евклидовом пространстве лишь в малой области. При сравнении с кривыми, не близкими к данной Г. л., последняя может и не быть кратчайшей.

Понятие Г. л. используется в физ. теориях. Так, движение консервативной механич. системы с конечным числом степеней свободы описывается Г. л. в нек-ром специально подобранном римановом пространстве. Аналогичным образом можно описать распространение световых лучей в среде с показателем преломления, зависящим от координат.

В псевдоримановом пространстве общей теории относительности (ОТО) существуют Г. л. трёх типов: времениподобные , изотропные, или нулевые , и пространственноподобные (<0, =0, 1, 2, 3). Времениподобные Г. л. являются мировыми линиями пробных точечных частиц с отличной от нуля массой покоя, движущихся в гравитац. поле, определяющем метрику пространства-времени . Времениподобные Г. л. соответствуют максимуму длины кривой. Изотропные Г. л. соответствуют движению фотонов и др. безмассовых частиц. Пространственноподобные Г. л. не соответствуют движению реальных частиц, однако они важны для понимания геом. свойств самого пространства-времени. Второй член в ур-нии (2) для Г. л. в контексте ОТО можно интерпретировать как гравитац. силу, действующую на материальную точку. В силу эквивалентности тяготения и инерции эта величина не имеет тензорного характера и может быть обращена в пуль вдоль нек-рой кривой спец. выбором системы координат (свободно падающая система отсчёта). При этом взаимное положение двух близких Г. л. не зависит от системы координат и может быть использовано для описания "истинного" действия гравитац. поля. Для двух близких Г. л. и из (2) получим

где - абс. производная, - кривизны тензор .T. о., хотя свободно падающая в гравитац. поле частица покоится в падающей вместе с ней системе отсчёта, другая, близкая к ней частица движется относительно первой. Этот пример иллюстрирует локальный характер принципа эквивалентности сил тяготения и инерции.

Ряд свойств Г. л. в пространстве-времени ОТО удаётся получить, используя ур-ния Эйнштейна совместно с нек-рыми предположениями относительно свойств создающей гравитац. поле материи. Напр., если плотность энергии неотрицательна во всех физически допустимых системах отсчёта, то поперечное сечение пучка Г. л. S( - аффинный параметр вдоль пучка) удовлетворяет условию . Отсюда следует, что если в нек-рой точке производная стала отрицательной, то через конечный промежуток значений сечение S обратится в нуль (фокальная точка). Подобные рассуждения лежат в основе т. н. теорем о сингулярностях Хокинга - Пенроуза.