геометрической оптики метод

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ МЕТОД - приближённый асимптотич. метод вычисления волновых полей, опирающийся на представление о лучах, вдоль к-рых распространяется энергия волны. Г. о. м. отвечает широкому, "волновому", пониманию геом. оптики, в противоположность геом. оптике в узком, "лучевом", смысле, ориентированной на построение изображений при помощи лучей. Первоначальный, лучевой, период развития Г. о. м. был завершён трудами У. Гамильтона (W. Hamilton) и его последователей, тогда как начало современному, волновому, периоду положил П. Дебай (P. Debye) в 1911.

Уравнения геометрической оптики. Переход от волнового ур-ния к ур-ниям геом. оптики проще всего продемонстрировать на примере скалярного монохроматич. волнового поля и(r), удовлетворяющего ур-нию Гельмгольца , где п(r)- коэф. преломления, - волновое число, - частота [зависимость от времени даётся множителем , к-рый для простоты не выписывается]. В рамках Г. о. м. волновое поле представляют в виде , причём параметры волны - амплитуду А(r) и градиент фазы - считают ф-циями, медленно меняющимися в масштабе длины волны:

т. е. предполагают, что поле и(r)имеет структуру квазиплоской волны. Амплитуду А разлагают далее в ряд по безразмерному малому параметру , где L - характерный масштаб задачи: А= (процедура Дебая - Рытова). Чтобы получить ур-ния для эйконала и амплитуд А_т, в ур-нии Гельмгольца следует приравнять нулю коэф. при одинаковых степенях или . Ур-ния для и амплитуды нулевого приближения A₀ (соответственно ур-ние эйконала и ур-ние переноса) имеют вид

Характеристики ур-ния эйконала в Г. о. м. наз. лучами. Ур-ния лучей можно записать в разл. формах. Чаще всего употребляются лагранжева форма

и гамильтонова форма

Здесь - элемент длины луча, , вектор, касательный к лучу. В однородной среде (=0) лучи являются прямыми линиями. Если известно двупараметрич. семейство лучей , покидающих нач. поверхность S⁰ (рис. 1), то решения ур-ний (2) с нач. значениями и , заданными на S°, можно выразить через параметры семейства лучей:

где интегрирование ведётся вдоль лучей, а - якобиан перехода от лучевых координат к декартовым. T. о., лучи в Г. о. м. образуют костяк, на к-рый "нашивается" волновое поле, наз. в этом случае лучевым полем. Согласно (2), поток энергии направлен по касательной к лучу. В одномерных задачах Г. о. м. равносилен ВКБ-методу.

Ур-ния Г. о. м. значительно проще, чем исходное волновое ур-ние, т. к. сводятся к системе обыкновенных дифференц. ур-ний (3) или (4). Для сравнительно просто устроенных сред эти ур-ния допускают аналитич. решения, в т. ч. методом разделения переменных, но чаще используют приближенные решения методом возмущений и численными методами. В рамках Г. о. м. легко описать слабое поглощение в среде (вводя соответств. фактор ослабления вдоль криволинейного луча), а также отражение и преломление на криволинейных границах раздела, для чего используют Френеля формулы.

Условия применимости. Рассматривая луч как физ. объект, его можно окружить "френелевским объёмом", к-рый содержит все первые Френеля зоны, ,"нанизанные" на луч (рис. 2). Френелевский объём определяет область, влияющую на формирование поля в точке наблюдения. Исходя из этого, можно сформулировать достаточные условия применимости Г. о. м., к-рые сводятся к требованию, чтобы в поперечном сечении френелевского объёма с радиусом а_f параметры волны А и р практически не менялись:

Эти неравенства гарантируют малость дифракц. эффектов, тогда как неравенства (1) служат лишь необходимыми условиями применимости Г. о. м.

Разновидности Г. о. м. используют при решении разнообразных физ. задач, причём не только в оптике, но и в радиофизике, физике плазмы. У Г. о. м. имеются "двойники": геометрическая акустика ,геом. сейсмология, квазиклассическое приближение квантовой механики (в трёх измерениях) и т. д. Особенно велика роль Г. о. м. в задачах распространения волн в неоднородных средах, для к-рых аналитич. решения исходного волнового ур-ния известны только для небольшого числа частных случаев.

Для описания векторных полей (эл--магн., упругие, гидродинамич. и др. волны) разработано неск. вариантов Г. о. м. В случае анизотропных сред используют представление поля в виде суммы независимых (невзаимодействующих) нормальных волн. В изотропных средах разделяют продольные и поперечные волны, при этом оказывается, что векторы поля в поперечной волне вращаются относительно естеств. трёхгранника со скоростью, равной кручению луча : (закон Рытова). В промежуточном случае слабо анизотропных сред, когда нужно учитывать взаимодействие нормальных волн, эффективное описание поля достигается при помощи квазиизотропного приближения геом. оптики. Распространение немонохроматич. волн в общем случае неоднородных и нестационарных сред с частотной и пространств. дисперсией описывают при помощи пространственно-временной геом. оптики, к-рая опирается на понятие пространственно-временных лучей. Последние вводят как характеристики ур-ния эйконала

где - полная фаза волны. В нестационарных средах энергия волны не сохраняется, но в определ. условиях существует адиабатический инвариант const, где - энергия волнового пакета. Разработаны также варианты Г. о. м. для случайно-неоднородных сред, волноводных систем и резонаторов, поверхностных волн, нелинейных задач и т. д.

Обобщения Г. о. м. Значение Г. о. м. определяется не только его наглядностью, универсальностью и эффективностью при решении разнообразных задач, но и тем, что он явился эвристич. основой мн. приближённых методов в теории распространения и дифракции волн. Комплексный Г. о. м. используют для описания полей в сильно поглощающих средах и в области каустич. тени. Ряд обобщений Г. о. м. направлен на устранение расходимости поля вблизи каустик. Сюда относятся метод эталонных ф-ций Кравцова - Людвига, метод канонич. оператора Маслова, метод интерференц. интеграла Орлова и нек-рые др. методы, существенно использующие лучевой каркас для построения равномерных и локальных асимптотик поля. К обобщениям Г. о. м. следует отнести также метод геом. теории дифракции Келлера, метод краевых волн Уфимцева, полутеневые асимптотич. методы и ряд др. подходов, выражающих дифракц. поле через решение известных эталонных задач и использующих разл. типы дифракц. лучей, с введением к-рых дифракц. поля приобретают лучевую структуру.

Наконец, следует указать квазиоптич. обобщения Г. о. м.: плавных возбуждений метод (Рытова), параболического уравнения приближение (Леонтовича - Фока), Кирхгофа метод дифракц. интеграла для неоднородных сред. Указанные обобщения существенно расширили возможности Г. о. м. и позволили проводить расчёты полей в таких областях, как зоны тени и полутени, окрестности каустик и фокусов и т. д.

Лит.: Pытов С. M., Модулированные колебания и волны, "Тр. ФИАН", 1940, т. 2, в. 1; Бреховских Л. M., Волны в слоистых средах, 2 изд., M., 1973; Борн M., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., 2 изд., M., 1973; Бабич В. M., Булдырев В. С., Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, M., 1972; Mаслов В. П., Федорюк M. В., Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, M., 1976; Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И., Геометрическая оптика неоднородных сред, M., 1980. Ю. А. Кравцов.

   <<      Предметный указатель      >>