гипергеометрическая функция

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (от греч. hyper - над, сверх, выше) - частное решение гипергеом. ур-ния (ур-ния Гаусса)

регулярное в окрестности точки 2=0 комплексной плоскости при и любых значениях .

Г. ф. при можно представить с помощью гипергеом. ряда (ряда Гаусса)

где

Основное интегральное представление

при определяет однозначную ф-цию, регулярную во всей плоскости z с разрезом вдоль вещественной оси при. Справедлива ф-ла дифференцирования:

Любые три ф-ции , i=1, 2, 3, в случае, когда - целые числа, связаны между собой соотношением

нек-рые полиномы по z. Существуют также функциональные соотношения, напр.

Если или - нуль или целое отрицат. число, то Г. ф. превращается в полином, к-рый с точностью до пост. множителя совпадает с полиномом Якоби (см. Ортогональные полиномы). Через Г. ф. выражаются многие элементарные и спец. ф-ции, напр. сферич. ф-ции, эллиптич. интегралы и т. д. (см. также Вырожденная гипергеометрическая функция). Г. ф. находят применение в квантовой механике, теории волн и др. областях. Второе линейно независимое решение ур-ния (*) при можно записать след. образом:

Обобщённая гипергеом. ф-ция задаётся т. н. обобщённым гипергеом. рядом

В этих обозначениях .

Существуют обобщения Г. ф. на случай многих переменных.

Лит.: Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1,2 изд., M., 1973; Hикифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., M., 1984; Справочник по специальным функциям, пер. с англ., M., 1979.

   <<      Предметный указатель      >>