главное значение интеграла

Для Г. з. и. используют след. обозначения: , V. р. (сокращение от Valeur principale предложено О. Коши, A. Cauchy). Модели, применяемые для описания физ. явлений, как правило, идеализируют реальность, отбрасывая несущественные или усложняющие детали. При матем. обработке таких моделей и возникают несобственные интегралы. На практике встречаются три случая.

1) Интеграл в неогранич. пределах, . Регуляризация состоит во введении симметричных конечных пределов - А, А, тогда

если этот предел существует. Для нечётной ф-ции f(x)Г. з. и. равно нулю.

2) Интеграл от неогранич. ф-ции f(x), интегрируемой на любой части интервала (а, b), не содержащей особой точки с, а<с<b. Регуляризация состоит в симметричном "вырезании" окрестности точки с из интервала:

если этот предел существует.

3) Интеграл типа Коши где L - контур в комплексной плоскости, x - точка на нём, а ф-ция f интегрируема на L (см. Коши интеграл ).Регуляризация состоит в "вырезании" из L части, содержащейся в круге радиуса с центром в а. Г. з. и. типа Коши даётся формулами Сохоцкого , определяющими обобщённую ф-цию через граничное значение аналитич. ф-ции (z-а)^-1 и дельта-функцию

.

Лит.: Мусхелишвили H. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., M., 1968; Киржниц Д. А., Полевые методы теории многих частиц, M., 1963. В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>