грассмана алгебра

ГРАССМАНА АЛГЕБРА - алгебра, порождённая антикоммутирующими образующими , т. е. совокупность всевозможных линейных комбинаций из произведений образующих , в к-рых все сомножители различны, т. к.

и, в частности, при любом k. Назв. в честь Г. Грассмана (H. Grassmann). Размерность Г. а. как линейного пространства равна 2ⁿ, базис состоит из 2ⁿ одночленов:

Любой элемент Г. а. можно представить в виде след. конечной суммы:

На случай грассмановых переменных обобщается ряд понятий обычного анализа, в частности дифференцирование и интегрирование. Чтобы найти левую производную от одночлена по переменной , нужно, пользуясь (1), переставить на первое слева место и вычеркнуть её. Аналогично определяется правая производная. Производная от общего элемента Г. а. есть сумма производных от одночленов в разложении (2). Интеграл на Г. а. задаётся правилами Березина:

, при этом кратный интеграл понимается как повторный. Символ не есть обычный дифференциал, его следует трактовать формально. Интеграл на Г. а. обладает нек-рыми свойствами обычного интеграла, в частности возможно интегрирование по частям. С др. стороны, интегрирование на Г. а. эквивалентно дифференцированию:

.

Интегрирование по грассмановым переменным позволяет построить функциональный интеграл ,представляющий Грина функции фермионных полей.

Дельта-функция Грассмана действует как обычная дельта-функция: и, кроме того, удовлетворяет равенству . Mн. расходимости в теории суперсимметрии исчезают благодаря этому свойству. В суперсимметричных моделях теории поля образующими являются спиноры группы Лоренца, а элементы Г. а. зависят не только от , но и от пространственно-временных координат х. Возникающие величины наз. суперполями. В разложении вида (2) коэф. оказываются ф-циями х, т. е. полями . Суперполе описывает, т. о., набор полей целого и полуцелого спина.

Лит.: Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, 2 изд., M., 1986; Огиевецкий В. И.,Мезинческу Л., Симметрии между бозонами и фермионами и суперполя, "УФН", 1975. т. 117, с. 637. В. И. Огиевецкий..

   <<      Предметный указатель      >>