грина функция

ГРИНА ФУНКЦИЯ линейного дифференциального оператора L (линейного дифференц. ур-ния Lu(x)=f(x)) - функция G(x, х'), задающая ядро интегр. оператора, обратного к L. Поскольку ядром единичного оператора является дельта-функция , Г. ф., трактуемая как обобщённая ф-ция, удовлетворяет ур-нию

Всякое решение ур-ния (1) наз. фундаментальным решением исходного дифференц. ур-ния; следовательно, Г. ф.- также нек-рое фундам. решение. Из (1) следует, что при Г. ф. удовлетворяет однородному ур-нию L_xG=0. Решение неоднородного ур-ния

определяется интегралом

Г. ф. G(x, х')представляет собой "отклик" в точке х системы, описываемой дифференц. ур-нием, на единичный точечный источник, помещённый в точку х'. По этой причине Г. ф. часто наз. также ф-цией источника. Для самосопряжённого оператора L T. ф. G(x, х')удовлетворяет соотношению взаимности (* означает комплексное сопряжение), т. е. отклик в точке х на точечное возмущение в х' равен отклику в х' на точечное возмущение в х. Впервые Г. ф. введена Дж. Грином (G. Green) в 1828. Г. ф.- существенная часть матем. аппарата совр. физики. Интегр. соотношение (3), заменяющее дифференц. ур-ние (2), позволяет представить поле, созданное некрой системой источников, в виде суперпозиции вкладов отдельных точечных источников; оно удобно для построения теории возмущений и т. п.

Чтобы задать дифференц. оператор L, нужно, кроме операции дифференцирования, определить ещё класс ф-ций, на к-рые действует эта операция. Ограничения на ф-ции диктуются физ. постановкой задачи и выступают обычно в виде нек-рого числа краевых условий, к-рым подчинены ф-ции и(х). Г. ф. дифференц. оператора наз. также Г. ф. соответствующей краевой задачи. Г. ф. G(x, х')краевой задачи удовлетворяет краевым условиям по х при любом фиксированном х'. Поэтому если G₀(х, х') - любое фундам. решение ур-ния (не обязательно удовлетворяющее краевым условиям), то Г. ф. G(x, х')представляется в виде суммы:

где g(x, х') - решение однородного ур-ния L_xg(х, х')=0, выбранное так, чтобы ф-ция G(x, х')удовлетворяла заданным краевым условиям. Построить Г. ф. в явном виде удаётся в сравнительно небольшом числе случаев для нек-рых видов областей.

Ниже даны примеры конкретных Г. ф.

1. Обыкновенное дифференц. ур-ние на отрезке . Пусть , а краевые условия представляют собой п линейных соотношений между значениями , ,, младших производных ф-ции и (х)на концах отрезка. Тогда Г. ф., удовлетворяя при каждом х' краевым условиям по x и при -однородному ур-нию L_xG(x,x')=0, должна иметь в точке х=х' непрерывные производные вплоть до (n-2)-й и разрывную (n-1)-ю производную, причём скачок в этой точке равен

.

Эти требования, дополненные естеств. предположениями о гладкости по переменным х, х' при , определяют G(х, х'). Напр., дифференц. оператор 2-го порядка с краевыми условиями и(а)= и(b)=0 имеет Г. ф., равную

где , a u₁ и u₂ - к--л. линейно независимые решения ур-ния Lu = 0, удовлетворяющие условиям . 2. Ур-ние Лапласа. Пусть х=(x₁, х₂, ..., х_п), , а . Фундам. решением ур-ния Лапласа служит ф-ция

Г (п) - гамма-функция Эйлера.

В практически важном случае трёхмерного пространства ф-ция G₀(х, х')равна . Согласно ф-ле (4), Г. ф. разл. краевых задач для ур-ния Лапласа получают, добавляя к G₀(х, х')подходящую гармоническую функцию, обеспечивающую выполнение краевых условий. Напр., при п=3 для шара задаче с краевым условием отвечает Г.ф.

где -точка, симметричная точке х' относительно сферы . Аналогичной краевой задаче для полупространства x₃ >0, т. е. краевому условию отвечает Г. ф. вида , где точка симметрична точке относительно плоскости x₃=0, т. е. . Г. ф. в этих двух случаях представляет собой потенциал точечного заряда, помещённого в точку х' внутри заземлённой проводящей сферы (1-й случай) или в присутствии заземлённой проводящей плоскости (2-й случай). При п=2 Г.ф. Дирихле задачи для односвязной области с достаточно гладкой границей имеет вид

Здесь -нек-рая ф-ция аргумента , конформно отображающая область на единичный круг .

В след. примерах приводятся только фундам. решения G₀(x, х'), связанные с Г.ф. соотношением (4).

3. Ур-ние теплопроводности:a²D,

,

где q(x) -ступенчатая ф-ция: q(x)=0 при х<0, при х>0.

4. Ур-ние Гельмгольца: при n=1; при n=2, где -ф-ция Ханкеля; при п = 3.

5. Волновое ур-ние: , при n = 1, при п= 2; при n=3, для упрощения принято х' = t' = 0. Полученная Г. ф. наз. запаздывающей, поскольку она обращается в нуль при t - t' < 0. Подставляя Г. ф. в (3), получим решение неоднородного волнового ур-ния в виде

носящем в электродинамике назв. запаздывающего потенциала.

где J₁-ф-ция Бесселя. Полученная Г. ф. также наз. запаздывающей.

Г. ф. играет важную роль также в задачах о спектре дифференц. операторов. Если самосопряжённый оператор L имеет Г. ф., то задача на собств. значения эквивалентна интегральному ур-нию , к к-рому можно применить теорию Фредгольма. Задача имеет не более счётного числа собств. значений вещественны и не имеют конечных точек сгущения. Если комплексное число не является собств. значением оператора L, то мож"о построить Г. ф. оператора , где I - единичный оператор. Ф-ция наз. резольвентой оператора L, является мероморфной функцией параметра , причём её полюсами служат собств. значения оператора L. T. о., спектр оператора L можно найти, изучая его резольвенту.

При изучении систем ур-ний роль Г. ф. играют т. н. матрицы Грина. Они позволяют выразить решение неоднородной краевой задачи для системы в виде интегралов от произведений матрицы Грина на векторы правой части системы. Для подобных задач полезен интеграл Дюамеля. Напр., частное решение неоднородной системы , где - n-компонентные векторы, А(х) - квадратная матрица порядка п, записывают в виде - решение однородной системы . Матрица А(х)может содержать дифференц. операторы, поэтому метод применим к ур-ниям с частными производными.

Лит.: Морс Ф. M., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, M., 1958; Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., M., 1964; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1981. Л. П. Купцов.

   <<      Предметный указатель      >>