грина функция

ГРИНА ФУНКЦИЯ в статистической физике- обобщение временной корреляц. ф-ции, тесно связанное с вычислением наблюдаемых физ. величин для квантовой системы мн. частиц. Применение Г. ф. связано с тем, что для нахождения важных характеристик системы мн. частиц нужно знать не детальное поведение каждой частицы, а только усреднённое поведение одной или двух частиц под действием остальных, для описания к-рого можно ввести Г. ф.

Г. ф. (запаздывающие и опережающие) определяют как ср. значения коммутаторов или антикоммутаторов двух операторов в Гейзенберга представлении:

где при t>0 и при t<0, - усреднение по большому каноническому распределению Гиббса, , где . Значение выбирается из соображений удобства: если А, В - бозе-операторы, то обычно выбирают , для ферми-операторов . Представление Гейзенберга вводят при помощи оператора , где H - оператор Гамильтона системы мн. частиц, - хим. потенциал, N - оператор полного числа частиц. Используют также причинные Г. ф.

где - символ хронологич. упорядочения операторов, располагающего стоящие после него операторы слева направо в порядке убывания времени и меняющего знак на обратный при нечётном числе ферми-операторов:

Г. ф. в статистич. физике наз. также двухвременными температурными Г. ф., они отличаются от Г. ф., применяемых в квантовой теории поля, лишь способом усреднения: вместо усреднения по нижнему, вакуумному состоянию производят усреднение по большому канонич. ансамблю Гиббса.

Запаздывающие Г. ф. имеют простой физ. смысл, они определяют реакцию системы на включение d-образного возмущения и дают изменение ср. значения А к моменту t :. Причинные Г. ф. не имеют столь простого физ. смысла, но они тесно связаны с теорией возмущений при нулевой темп-ре, т. е. с вычислением энергии осн. состояния системы. Наиб. тесно связаны с теорией возмущений при отличной от нуля темп-ре T (т. е. с термодинамической теорией возмущений)температурные, введённые T. Mацубарой (T. Matsubara, 1955), Г. ф., к-рые отличаются от причинных Г. ф. тем, что операторы берутся не в обычном представлении Гейзенберга, а в представлении, зависящем от нек-рого мнимого "времени" - , изменяющегося в интервале от - до нуля:

,

где - операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям Бозе - Эйнштейна статистики или Ферми-Дирака статистики.

Для таких Г. ф. можно построить диаграммную технику при конечных темп-pax, аналогичную диаграммной технике квантовой теории поля. Все осн. понятия диаграммной техники (собственно энергетич. части, вершинные ф-ции) можно перенести на случай ненулевой темп-ры.

Г. ф. удовлетворяют цепочке зацепляющихся ур-ний, к-рые получаются при дифференцировании Г. ф. по времени (или параметру ). Вводя для Г. ф. одинаковые обозначения , получим

Это ур-ние выражает исходные Г. ф. через Г. ф. более высокого порядка, для к-рых можно получить подобные ур-ния, и т. д. Ур-ния такого типа одинаковы для запаздывающих, опережающих и причинных Г. ф., следовательно, их надо дополнить граничными условиями, используя спектральные представления. Временные корреляц. ф-ции удовлетворяют таким же ур-ниям, но без члена с -функцией, поэтому Г. ф. описывают влияние на корреляции мгновенных возмущений. Очевидна их аналогия с Г. ф., к-рые применяют при решении краевых задач матем. физики, описывающих влияние -образного возмущения на решение линейных дифференц. ур-ний.

Ур-ния для Г. ф. являются точными, поэтому решение этой цепочки в общем случае чрезвычайно сложно. Однако, если в системе есть малые параметры (малая плотность или малое взаимодействие), оказывается возможным выразить высшие Г. ф. через низшие н "расцепить" цепочку для Г. ф., получив для них замкнутую систему ур-ний. Обычно это делается либо с помощью диаграммной техники, либо с помощью к--л. аппроксимаций, напр. приближения случайных фаз.

Для временных корреляц. ф-ций удобны спектральные представления:

где -спектральная плотность временных корреляц. ф-ций. Отсюда можно получить спектральные представления для Г. ф. и построить также единую аналитич. ф-цию в комплексной плоскости , к-рая в верхней полуплоскости совпадает с запаздывающей Г. ф., а в нижней - с опережающей. Такая Г. ф. очень удобна для приложений, с её помощью можно найти спектральную плотность временных корреляц. ф-ций через скачок Г. ф. на действит. оси: .

Спектральные представления для температурных Г. ф. можно получить, если продолжить их периодически на все значения вне интервала и разложить в ряд Фурье , где для ферми-частиц и для бозе-частиц. Фурье-компоненты определены лишь для дискретных , но их можно аналитически продолжить на все и получить тем самым временные корреляц. ф-ции.

Особенно важны одночастичные Г. ф., в к-рых , ; вещественная и мнимая части полюса этих Г. ф. в комплексной плоскости определяют спектр и затухание элементарных возбуждений системы мн. частиц. Ур-ния движения для одночастичных Г. ф. связывают их с двухчастичными Г. ф., в к-рых , . Эти Г. ф. применяют в теории неравновесных процессов. Г. ф. используют также в статистич. механике классич. систем. В этом случае надо заменить квантовые скобки Пуассона на классические , а представление Гейзенберга - на , где оператор Лиувилля L определяется равенством .

Г. ф. удобны в статистич. физике равновесных систем для вычисления термодинамич. ф-ций и спектров элементарных возбуждений. Они находят применение также и в теории необратимых процессов, т. к. Грина - Кубо формулы для кинетич. коэф. можно выразить через Г. ф.

Лит.: Зубарев Д. H., Двухвременные функции Грина в статистической физике, "УФН", 1960, т. 71, с. 71; Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. E., Методы квантовой теории поля в статистической физике, M., 1962; Tябликов С. В., Методы квантовой теории магнетизма, 2 изд., M., 1975; Mаттук P.-Д., Фейнмановские диаграммы в проблеме многих тел, пер. с англ., M., 1989; Боголюбов H. H. мл., Садовников Б. И., Некоторые вопросы статистической механики, M., 1975; Лифшиц E. M., Питаевсьий Л. П., Статистическая физика, ч. 2, M 1978. Д. H. Зубарев.

   <<      Предметный указатель      >>