двумерные модели

ДВУМЕРНЫЕ МОДЕЛИ квантовой теории поля - модели квантовой теории поля (КТП), рассматриваемые в двумерном пространстве-времени (однопространственное и одно временное измерения). Благодаря ряду специфич. упрощений Д. м. КТП допускают значительно более детальное, чем в многомерном случае, исследование. В то же время нек-рые из них обнаруживают черты, характерные для реалистич. теорий (нетривиальный спектр частиц, перенормировки, спонтанное нарушение симметрии и т. п.; см. ниже). Ряд Д. м. находит непосредств. применение в физике одномерных и двумерных систем (полимеры, плёнки, поверхностные явления и т. п.), при формулировке нек-рых реалистич. моделей КТП в четырёхмерном пространстве-времени. К наиб. известным Д. м. КТП относятся: модель Швингера [1]- двумерная КТП, описывающая взаимодействие заряж. ферми-поля с "эл--магн." полем :

где - лагранжиан взаимодействия, е - константа взаимодействия, : - векторный ток фермионов ( означает нормальное произведение ,черта над оператором поля - дираковское сопряжение), - Дирака матрицы ,=0,1 (используется система единиц =с=1). Наиб. просто эта модель исследуется с помощью т. н. бозонизации (см. ниже).

Из-за роста с увеличением расстояния (R)между заряж. частицами одномерного кулоновского взаимодействия, , заряж. фермионы и антифермионы в этой модели не существуют как отд. частицы, а оказываются связанными в нейтральные "мезоны". Такое же явление имеет место в двумерной неабелевой калибровочной теории поля - модели 'т Хоофта [2]. Это может служить моделью конфайнмента (невылетания кварков; см. Удержание цвета), ожидаемого в квантовой хромодинамике.

Модель Тирринга - теория заряж. ферми-поля с четырёхфермионным взаимодействием (см., напр., [3]):

(g - константа взаимодействия). В случае массивного поля теория содержит богатый спектр частиц: при g<0 кроме заряж. фермионов имеется серия фермион-антифермионных связанных состояний. Модель Тирринга перенормируема, её поведение на малых расстояниях соответствует масштабной инвариантности. Существуют также обобщения модели Тирринга, содержащие ферми-поле с дополнительным внутр. индексом и обладающие неабелевыми группами симметрии; примером является модель Гросса - Невье [Д. Гросс (D. Gross), A. Невье (A. Neview), 1974], к-рая обладает асимптотической свободой и моделирует спонтанное нарушение симметрии (см. Внутренняя симметрия).

Нелинейная -модель (n-поле) - теория N-мерного поля (i=1, 2, ..., N), к-рая описывается лагранжианом

при дополнит. условии .

Благодаря этому дополнит. условию N-мерный вектор изменяется только по направлению и принимает значения на (N-1)-мерной сфере. При N>2 теория перенормируема и асимптотически свободна [4]. В рамках возмущений теории в -модели происходит спонтанное нарушение 0(N)-симметрии и возникают безмассовые частицы (голдстоуноеские бозоны). Но рост заряда в этой модели на больших расстояниях приводит к разрушению вакуума, характерного для голдстоуновского механизма нарушения симметрии, восстановлению симметрии и динамич. появлению массы, к-рая оказывается экспоненциально малой по константе связи g и поэтому не проявляется в теории возмущений. При N=3 в модели появляются инстантоны .Ввиду этих свойств нелинейную -модель часто рассматривают как двумерный аналог четырёхмерной калибровочной теории поля Янга - Миллса [4]. Возможны обобщения нелинейной -модели, в к-рых поля принимают значения в компактных группах или однородных пространствах; эти модели обладают похожими свойствами. Такие модели находят применение при формулировке квантовой теории струн (см. Струна релятивистская, Струнные модели адронов). В двумерном пространстве-времени существуют соотношения бозонизации, позволяющие выразить фермионные поля через бозонные и наоборот [5]. Напр., плотности векторного, а также скалярного и псевдоскалярного токов свободных безмассовых фермионов локально выражаются через безмассовое бозонное поле:

где - единичный антисимметричный тензор, a M - массовый параметр, зависящий от метода регуляризации теории (см. Регуляризация расходимостей), - матрица Дирака (по повторяющемуся индексу предполагается суммирование). Сами ферми-поля выражаются через нелокальным образом. В многомерной КТП точные соотношения подобного рода пока неизвестны. Соотношения бозонизации позволяют установить эквивалентность между фермионными и бозонными Д. м. теории поля. Так, модель Тирринга оказывается эквивалентной квантовой модели синус-Гордона (см. Синус-Гордона уравнение) с лагранжианом

причём квантовые солитоны модели синус-Гордона соответствуют фермионам модели Тирринга, а "элементарная" частица поля может быть интерпретирована как одно из связанных состояний фермион-антифермион.

Многие Д. м. КТП (в частности, все указанные выше) оказываются точно решаемыми. Возможность точного решения всегда связана с существованием высших динамич. симметрии в соответствующих Д. м., что проявляется в наличии бесконечной серии коммутирующих интегралов движения. В точно решаемых моделях возможно вычисление спектра масс частиц и S-матрицы, к-рая имеет специфич. факторизованную структуру [3]; в отд. случаях удаётся найти Грина функции. Точно решаемые Д. м. КТП исследуются на основе квантового метода обратной задачи [6].

Лит.: 1) Вайтман А., Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей, пер. с англ., M., 1968; 2) 't Hооft G., A two-dimensional model for mesons, "Nucl. Phys. В", 1974, v. 75, p. 461; 3) Zamоlоdсhiкоv A. В., Factorired S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models, "Ann. Phys.", 1979, v. 120, p. 253; 4)Polyakov A. M., Gauge fields as rings of glue, "Nucl. Phys. B", 1979, v. 164, p. 171; 5) Соleman S. Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model, "Phys. Rev. D", 1975, v. 11, p. 2088; Mandelstam S., Soliton operators for the quantized sine-Gordon equation, idem., p. 3026; 6) Склянин E. К., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д., Квантовый метод обратной задачи I, "ТМФ", 1979, т. 40, с. 194. А. В. Замолодчиков.

   <<      Предметный указатель      >>