дебая теория

ДЕБАЯ ТЕОРИЯ твёрдого тела - теория, описывающая колебания кристаллич. решётки и обусловленные ими термодинамич. свойства твёрдого тела; предложена П. Дебаем в 1912 в связи с задачей о теплоёмкости кристалла. Д. т. основана на упрощённом представлении твёрдого тела как изотропной упругой среды, атомы к-рой совершают колебания в конечном диапазоне частот.

Кристаллич. решётка, состоящая из N элементарных ячеек по v атомов в каждой, имеет колебат. степеней свободы. С механич. точки зрения, такую систему можно описывать как совокупность независимых осцилляторов, каждый из к-рых соответствует отд. нормальному колебанию системы (см. Колебания кристаллической решётки). Вычисление статистической суммы и, следовательно, термодинамич. ф-ций такой системы в общем виде невозможно, т. к. результат существенно зависит от конкретного распределения частот по спектру колебаний твёрдого тела, т. е. от плотности колебат. состояний , где - частота колебаний. Однако в предельном случае низких темп-р задача упрощается, т. к. возбуждаются только колебания низких частот ( , T - абс. темп-pa). Они представляют собой звуковые волны с линейным законом дисперсии: для продольных и для поперечных волн ( - продольная и поперечная скорости распространения волн, k - волновое число). T. о., при низких темп-pax дискретная структура кристаллич. решётки не проявляется.

Плотность колебат. состояний, т. е. число собственных колебаний в интервале частот от до в спектре звуковых волн, равна:

где V - объём тела, - усредненная скорость звука, к-рая для изотропного тела определяется соотношением:

В случае анизотропных кристаллов закон усреднения изменяется, он требует решения задачи теории упругости о распространении звука в кристалле данной симметрии. Зависимость же плотности g от частоты (1) сохраняется.

В предельном случае высоких темп-р ( , где а - постоянная решётки) возбуждены все колебат. степеней свободы и на каждую приходится энергия kT (закон равнораспределения). В обоих предельных случаях статистич. сумма и термодинамич. ф-ции кристаллич. решётки могут быть вычислены.

Д. т. представляет собой интерполяцию между этими предельными случаями. Она предполагает, что для всех нормальных колебаний имеет место линейный закон дисперсии и плотность колебат. состояний описывается ф-лой (1), что в действительности справедливо лишь для малых частот. Спектр колебаний начинается от =0 и обрывается на т. н. частоте Дебая , к-рая определяется условием равенства полного числа колебаний числу степеней свободы :

откуда

Плотность колебат. состояний в Д. т. можно записать в виде:

Все термодинамич. ф-ции в Д. т. могут быть выражены через т. н. ф-цию Дебая:

Свободная энергия F, энтропия S, внутр. энергия и теплоёмкость при пост. объёме C_V определяются ф-лами:

где -энергия нулевых колебаний атома в решётке, , -Дебая температура, выше к-рой возбуждены все моды кристалла, а ниже к-рой нек-рые моды начинают "вымерзать".

Согласно Д. т., теплоёмкость твёрдого тела есть ф-ция отношения . В предельных случаях высоких темп-р и низких темп-р из ф-лы (9) получаются соответственно Дюлонга и Пти закон и Дебая закон теплоёмкости:

Критерием применимости предельных законов для теплоёмкости является соотношение между T и ; теплоёмкость можно считать постоянной при и пропорциональной Т³ при (рис.). Д. т. хорошо передаёт температурную зависимость термодинамич. ф-ций, в частности теплоёмкости, лишь для тел с простыми кристаллич. решётками, т. е. для большинства элементов и ряда простых соединений, напр. галоидных солей. К телам с более сложной структурой она фактически неприменима из-за сложности спектра колебаний решётки. Так, у сильно анизотропных кристаллов, в частности у слоистых (квазидвумерных) и цепочечных (квазиодномерных) структур, спектр звуковых колебаний характеризуется не одной, а неск. дебаевскими темп-рами. Закон T³ для теплоёмкости имеет место лишь при темп-pax, малых по сравнению с наименьшей из дебаевских темп-р, в промежуточных областях возникают новые предельные законы. Термодинамич. ф-ции таких кристаллов помимо отношения зависят также от параметра, характеризующего относит. величину энергии связи между слоями (цепочками) атомов по сравнению с энергией связи между атомами в одном слое (цепочке).

При рассмотрении решётки с полиатомным базисом (больше 1 атома в узле) существенны оптич. колебания, частота к-рых слабо зависит от k, и поэтому здесь лучше применима теория теплоёмкости Эйнштейна, в к-рой всем колебаниям приписывается одна и та же частота . При этом теплоёмкость кристалла

где- темп-pa Эйнштейна, определяемая равенством:

При темп-ре каждая оптич. мода даёт пост. вклад k/V в уд. теплоёмкость в соответствии с законом Дюлонга и Пти. При этот вклад экспоненциально падает.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Статистическая физика, ч. 1, 3 изд., M., 1976; Dеbуе P., Zur Theorie der spezifischen Warmen, "Ann. Phys.", 1912, Bd 30, S. 789.

Э. M. Эпштейн.

   <<      Предметный указатель      >>