действие

ДЕЙСТВИЕ - фундаментальная физ. величина, задание к-рой как ф-ции переменных, описывающих состояние системы, полностью определяет динамику системы. Исторически понятие Д. было введено в механике голономных систем (систем со связями, не зависящими от скоростей). Д. S для промежутка времени (t₁, t₂) определяется как

где L=T-U - Лагранжа функция, зависящая от описывающих состояние системы обобщённых координат q_i и скоростей (i=1, ..., п; п - число степеней свободы) и, возможно, времени t. При этом кинетич. энергия T квадратична по скоростям, а потенциальная U не зависит от них. Исходными считались ур-ния Ньютона, а оправданием для введения понятия Д. служило наблюдение, что эти ур-ния получаются как Эйлера - Лагранжа уравнения в вариационном наименьшего действия принципе: при независимых вариациях с условием на границе.

Ур-нням Лагранжа

эквивалентны Гамильтона уравнения, получающиеся из требования для Д. в эквивалентной (1) форме

при независимых вариациях и (здесь H- Гамильтона ф-ция, р_i-обобщённые импульсы). Система обыкновенных дифференц. ур-ний Гамильтона , служит характеристич. системой для Гамильтона-Якоби уравнения

к-рое является нелинейным ур-нием в частных производных, а интегральные кривые ур-ний Гамильтона - характеристиками ур-ния (3). Д. есть полный интеграл ур-ния (3), , зависящий от n+1 произвольных постоянных , и является производящей ф-цией канонического преобразования от переменных р_i, q_i . к новым переменным. Новая ф-ция Гамильтона H (P_i, Q_i, t)тождественно обращается в 0, вследствие чего новые переменные P, Q постоянны (и выражаются через нач. данные). Тем самым знание полного интеграла (3) сводит задачу интегрирования ур-ний движения к разрешению относительно q_i алгебраич. ур-ний .

В совр. теоретич. физике Д. рассматривается как осн. фундамент. величина при формулировке любой теории, особенно полевой, а динамич. ур-ния выводятся из вариационных принципов механики. Задача построения теории формулируется как задача выбора обобщённых координат и скоростей, описывающих состояние системы, и вида ф-ции Лагранжа, зависящей от них. Значение понятия Д. возрастает для полевых систем ещё и потому, что важнейшие для них принципы инвариантности формулируются наиб. удобно и компактно как инвариантность Д. (см. Лагранжев формализм, Лагранжиан); в ряде случаев соображения инвариантности почти полностью определяют теорию. Напр., электродинамикой без источников наз. теория, где в качестве координат выбирают 4-потенциал , а требования релятивистской и калибровочной инвариантности и линейности ур-ний поля фиксируют Д. в виде

где - точка пространства-времени (см. Потенциалы электромагнитного поля ).Кроме того, благодаря Нётер теореме инвариантность Д. относительно каждой однопараметрич. группы преобразований влечёт за собой закон сохранения одной, явно строящейся по ф-ции Лагранжа (или ф-ции Гамильтона) физ. величины.

Не менее фундаментальна роль Д. в квантовой теории, где состояния системы описываются векторами гильбертова пространства, а динамич. переменным отвечают операторы. Если базис пространства одномерной системы образован собств. векторами оператора координаты, то стандартному постулату квантования эквивалентно определение амплитуды перехода из состояния с координатой q₁ в момент t₁ в состояние с координатой q₂ в момент t₂ как функционального интеграла

где (знак умножения) показывает, что интегрирование экспоненты от классич. Д. ведётся по всем возможным траекториям, начинающимся в q₁ в момент t₁ и кончающимся в q₂ в момент t₂. Такая функциональная формулировка особенно удобна для квантовой теории поля: она позволяет ясно следить за инвариантностью на всех этапах, в частности в процедуре перенормировки. Наконец, функциональная формулировка (4) проясняет переход к классич. теории: в квазиклассич. пределе , где фазы велики, осн. вклад в интеграл даёт область, где S стационарно, т. е. при вариации траекторий. T. о., принцип наим. действия для классич. траекторий оказывается следствием квантовой динамики в квазиклассич. пределе. В определ. смысле Д. "более важно" для квантовой теории, чем для классической: квантовую динамику определяют все возможные траектории, а классическую - лишь экстремали.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Теория поля, 6 изд., M., 1973; их же. Механика, 3 изд., M., 1973; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., M., 1979; Медведев Б. В., Начала теоретической физики, M., 1977; Район П., Теория поля, пер. с англ., M., 1984.

В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>