дельта-функция

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ [ d-функция, 1 - наиболее употребительная из обобщенных функций, определяемая формальным соотношением

для любой непрерывной ф-ции f(x). Введена П. Дираком (P. Dirac) в 1926. Строгое определение Д--ф. и обоснование правил действий с ней даётся теорией обобщённых ф-ций. В этой теории Д--ф. определяется как непрерывный линейный функционал в пространстве непрерывных ф-ций. Равенство результатов интегрирования правой и левой частей с непрерывными ф-циями означает справедливость соотношений:

[х_k - корни ур-ния =0] и т. д. В этом же смысле определяют Д--ф. многомерного аргумента x=x₁, . . .,х_n : . Используют также интегр. представление

Д--ф. незаменима при матем. описании идеализиров. ситуаций, когда физ. величина (масса, заряд, интенсивность источников тепла и т. п.) сосредоточена в точке: Д--ф. задаёт распределение плотности такой величины. Напр., плотность отвечает заряду е в точке х.

Д--ф. используют в совр. матем. физике при построении обобщённых и фундам. решений дифференц. ур-ний, Грина функций краевых задач, при нормировке собств. ф-ций непрерывного спектра и т. д.

Лит.: Дирак П. A. M., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., M., 1979; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1981.

В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>