де ситтера группа

ДЕ СИТТЕРА ГРУППА - группа движений (т. е. преобразований, сохраняющих метрику) пространства-времени пост. кривизны, т. н. пространства де Ситтера (см. Де Ситтера пространство-время). Д. С. г. представляет собой 10-параметрич. группу Ли, её используют для анализа геометрии пространства де Ситтера и построения квантовой теории полей в этом пространстве. Особая роль пространства де Ситтора связана с тем, что оно описывает нетривиальное грави-тац. поле, обладающее максимально возможной (10-параметрич.) симметрией. Кроме пространства де Ситтера, 10-параметрич. группой движений обладает лишь Минковского пространство-время ,соответствующее нулевому гравитац. полю.

Пространство де Ситтера S - 4-мерное искривлённое пространство, к-рое можно определить как псевдосферу в 5-мерном псевдоевклидовом пространстве Е_4,1 с метрикой, определяемой выражением

Числоиграет роль радиуса кривизны пространства де Ситтера. Пространство Е_4,l обладает группой движений, к-рая кроме сдвигов (трансляций) включает псевдоортогональные преобразования; они сами по себе образуют группу О(4,1), причём преобразования из этой группы переводят псевдосферу S в себя и сохраняют метрику на ней, т. е. являются движениями пространства S. Группу О(4,1) наз. Д. С. г. Иногда под Д. С. г. понимают подгруппу SO(4,1), к-рая выделяется требованием, чтобы все входящие в неё линейные преобразования (матрицы) обладали единичным детерминантом. Пространство де Ситтера можно отождествить с фактор-пространством Д. С. г. по подгруппе Лоренца (см. Лоренца группа S),=SO(4,1)/SO (3, 1). Иногда рассматривают пространство де Ситтера 2-го рода (или антидеситтеровское пространство). Его можно представить как псевдосферу S', определяемую ур-нием

в 5-мерном псевдоевклидовом пространстве Е_3,2 с метрикой, определяемой выражением

.

Группой движений пространства S' является группа SO(3, 2) [или О(3, 2)] псевдоортогональных преобразований пространства Е_3,2. Эту группу также наз. Д. С. г.

В пределе любая сколь угодно малая окрестность любой точки пространства де Ситтера (1-го или 2-го рода) переходит в пространство Минковского, а Д. С. г. на этой области переходит в Пуанкаре группу.

Д. С. г. порождается поворотами в 10 координатных плоскостях 5-мерного пространства. Формальная замена для части координат делает метрику евклидовой, а Д. С. г. переходит в группу SO(5). Каждый элемент её представляется, например, в виде , где - веществ. параметры, а - генераторы поворотов, образующие Ли алгебру группы SO(5):

Алгебра Ли Д. С. г. получается обратной заменой x_k. Алгебры Ли групп SO(4,1), SO(3, 2) и SO(5) являются разл. вещественными формами одной и той же комплексной алгебры Ли. По этой причине конечномерные представления Д. С. г. можно получить из конечномерных представлений группы SO(5) умножением на мнимую единицу матриц, представляющих нек-рые из генераторов. Получающиеся в результате представления Д. С. г. оказываются неунитарными. Унитарные неприводимые представления Д. С. г. (кроме тривиального) являются бесконечномерными.

Лит.. Виленкин H. Я., Специальные функции и теория представлений групп, M., 1965; Mенский M. Б., Метод индуцированных представлений: пространство-время и концепция частиц, M., 1976; Барут A., Pончка Р., Теория представлений групп и ее приложения, пер. с англ., т. 1-2, M., 1980. M. Б. Менский.

   <<      Предметный указатель      >>