динамика разреженных газов

ДИНАМИКА РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ - раздел механики газов, в к-ром изучаются явления, требующие учёта молекулярной структуры, привлечения представлений и методов кинетической теории газов. Толчком к бурному росту исследований в этой области и образованию на стыке газовой динамики и кинетич. теории газов самостоятельной дисциплины - Д. р. г.- послужило развитие вакуумной техники и космонавтики, что и обусловило её название; Д. р. г. наз. также молекулярной газодинамикой.

В Д. р. г. фундаментальное значение имеет отношение ср. длины свободного пробега молекул между столкновениями к характерному размеру течения L - т. н. Кнудсена число .

Классич. газовая динамика справедлива при T. к. в этом случае на длине пробега параметры газа изменяются мало, то благодаря столкновениям молекул в окрестности каждой точки течения устанавливается локальное, близкое к равновесию состояние, к-рое можно характеризовать неск. макроскопич. параметрами (плотностью, скоростью, темп-рой) и производными от них. Это позволяет прийти к локальному макроскопич. газодинамич. описанию, к представлению о газе как о сплошной среде (континууме), наделённой нек-рыми свойствами (вязкостью, теплопроводностью, диффузией и т. д.). Число Kn можно выразить через параметры континуальной газодинамики - Маха число M и Рейнольдса число . Отсюда следует, что континуальная газодинамика имеет место при фиксированном M и либо при и .

По мере возрастания числа Kn состояние газа всё больше отличается от локально равновесного, его нельзя охарактеризовать конечным числом макропараметров и необходимо перейти к кинетическому его описанию с помощью ф-ции распределения молекул , где t- время, х_i - пространств. координаты,- компоненты вектора скорости молекул (i=l, 2, 3). Величина определяет число молекул в момент времени t, имеющих скорости в интервале около скоростив элементе пространства около точки . Изменение ф-ции f во времени и пространстве описывается кинетическим уравнением Больцмана:

где J - интеграл столкновений, характеризующий изменение ф-ции распределения f, обусловленное столкновениями молекул.

Свободномолекулярное течение. Если , то столкновениями можно пренебречь. В этом случае , т. е. ф-ция распределения не изменяется вдоль траектории молекул. Такие течения наз. свободномолекулярными. Характер явлений при этом определяется столкновением молекул с ограничивающими течение поверхностями, а следовательно, законами взаимодействия молекул с жидкими или твёрдыми телами. Явления в свободномолекулярной области имеют характер, существенно отличный от аналогичных явлений в континуальной области . Пусть, напр., с двух сторон от нек-рой плоскости газ находится в равновесии (в покое) при темп-pax T₁ и T₂ и давлениях р₁ и р₂. Если в плоскости имеется отверстие, диаметр к-рого , т. е. , то, согласно законам континуальной газодинамики, газ не будет перетекать через отверстие, если р₁=р₂, независимо от темп-р T₁ и Т₂. Если же , то перетекание отсутствует при условии , т. к. малое отверстие не нарушает равновесия в каждом из сосудов, а при равновесии число молекул, проходящих из каждого из сосудов через единицу площади отверстия, пропорционально произведению плотностина ср. скорость теплового движения молекул, пропорциональную.

Характерные особенности обтекания тел в свободномолекулярном режиме особенно наглядны при гипертермич. скоростях набегающего потока, т. е. когда скорость потока v много больше ср. скоростей теплового движения молекул, так что, пренебрегая последними, можно считать, что все молекулы набегающего потока движутся с одной скоростью v. Если п - число молекул в единице объёма набегающего потока и S - площадь миделевого сечения обтекаемого тела, то число молекул, падающих на тело, равно , а приносимый ими импульс , где - плотность, т - масса молекулы. Полная сила сопротивления тела X=Х_i+Х_r, где X_r - реактивный импульс отражённых от тела молекул. В аэродинамике силы, действующие на тело, принято характеризовать безразмерными аэродинамическими коэффициентами. Если пренебречь импульсом отражённых молекул, то коэф. сопротивления , т. о., коэф. сопротивления независимо от формы тела. В континуальном же режиме для хорошо обтекаемых тел C_x порядка сотых или десятых единицы, а для плохо обтекаемых близок к 1. В свободномолекулярном гипертермич. режиме подъёмная сила обусловлена лишь реактивным импульсом отражённых молекул. В условиях космич. полёта, напр., скорость отражённых молекул и мал, а следовательно, и аэродинамическое качество независимо от формы обтекаемого тела, в то время как в условиях континуума аэродинамич. качество тел типа крыла может достигать единиц или даже десятков. В условиях континуума наивысшая темп-pa в потоке, а следовательно, и тел, помещённых в поток, равна темп-ре торможения. А в гипертермич. свободномолекулярном потоке темп-ра теплоизолированного тела (термометра) больше темп-ры торможения. Если в условиях континуума в потоке поместить вращающийся цилиндр (рис. 1), то на него действует подъёмная сила, направленная вверх,- Магнуса эффект .В свободномолекулярном потоке отражённые молекулы приобретают составляющую скорости, параллельную поверхности, так что реактивная сила, действующая на тело, направлена вниз. T. о., характер явлений в предельных ситуациях и существенно различен. Промежуточная область. Между предельными режимами - континуальным и свободномолекулярным - лежит переходная область, в к-рой непригодны как континуальное описание, так и упрощения свободномолекулярного случая. Здесь приходится иметь дело с решением полного кинетич. ур-ния Больцмана, к-рое много сложнее ур-ний газовой динамики. Имеется лишь небольшое число точных и аналитич. решений этого ур-ния для весьма вырожденных ситуаций. Для практически интересных течений решения получают численными методами. Большое распространение для решения сложных задач получил метод статистич. моделирования (Монте-Карло метод ),в к-ром моделируются перелёты и столкновения молекул. Часто для получения приближённых решений применяют модельные ур-ния с упрощённым интегралом столкновений.

Рис. 1. Схема взаимодействия вращающего цилиндра с потоком: а - континуальным Кn"1 (эффект Магнуса), б - свободномолекулярным Кn"1.

Рис. 3. Распределение скоростей в течении Kуэтта при различных числах Кнудсена.

Рис. 4. Напряжение трения между пластинами в течении Куэтта.

Характерные особенности течений в промежуточной области можно видеть на примере течения Kуэтта: две бесконечные пластины с равными темп-ра-ми движутся в противоположные стороны со скоростями (рис. 2). Если скорость их относит. движения v мала, то на основе приближённого решения ур-ния Больцмана можно получить выражения для скорости газа u_z(x)и постоянного поперёк течения напряжения трения Р_хz, к-рые имеют вид:

где А - константа, а - коэф. вязкости (рис. 3 и 4). При свободномолекулярном режиме газ между пластинами покоится, несмотря на их движение. На стенках газ "проскальзывает" на величину. По мере уменьшения числа Kn проскальзывание уменьшается, и при , напр. на ниж. поверхности, скорость скольжения , т. е. и в континуальном режиме имеет место проскальзывание, пропорциональное длине пробега и градиенту скорости у стенки. T. к. число Kn обратно пропорционально давлению р, то напряжение трения пропорционально давлению при малых значениях давления и не зависит от давления в континуальной области, где оно пропорционально коэф. вязкости ц и градиенту скорости. Если пластины имеют разную темп-ру, то аналогичная картина получается для потока тепла, а на стенках имеет место скачок темп-ры , т. е. разрыв между темп-рой газа у стенки T и темп-рой стенки . Как и для скорости, скачок темп-ры имеет место и в континуальной области, где он пропорционален длине пробега и нормальному к стенке градиенту темп-ры. Принятые в классич. газодинамике условия прилипания , являются приближёнными. В течении Куэтта напряжение трения или тепловой поток монотонно изменяются с изменением давления (или Kn)между пластинами. Однако часто в промежуточной области характеристики меняются немонотонно. Так, в практически важном течении по плоскому каналу или трубе под действием градиента давления безразмерный объёмный расход Q_p минимален при нек-ром числе Kn (парадокс Кнудсена; кривая 1 на рис. 5). В континуальной газодинамике с условиями прилипания на стенке течение в трубе может быть вызвано лишь градиентом давления. В промежуточной области течение может быть обусловлено также градиентом темп-ры вдоль трубы. Если канал или труба соединяет два сосуда с разными темп-рами, то из-за наличия градиента темп-ры вдоль трубы начнётся перетекание из холодного сосуда в горячий. Для того чтобы ликвидировать перетекание, обусловленное перепадом темп-ры , необходимо создать нек-рый перепад давления между горячим и холодным сосудами. Величина этого перепада зависит от Kn (рис. 5); его необходимо учитывать, напр., при измерении темп-ры "горячего" газа "холодным" манометром. При нулевом расходе газ у стенки течёт в одну сторону, а в середине канала в другую. Тепловое скольжение, или т. н. крип, сохраняется и в континуальной области, где оно пропорционально длине пробега и градиенту темп-ры вдоль стенки, (а - скорость звука). В отличие от скоростного скольжения u_S и температурного скачка , к-рые приводят лишь к нек-рому отклонению от явлений, имеющих место при условии прилипания , крипом обусловлен целый ряд явлений, напр. упомянутое выше движение газа в трубе (термомеханич. эффект), термофорез и др. Если тело с коэф. теплопроводности поместить в газ с теплопроводностью , в к-ром имеется градиент темп-ры, то появится и градиент темп-ры вдоль поверхности тела, а следовательно, и скольжение газа от холодной части к горячей. Явления, вызванные этим движением газа, наз. термофоретическими. T. к. это течение газа обусловлено телом, то на тело будет действовать реактивная термофоретич. сила F в противоположную сторону. Термофорез имеет место и в промежуточной области (рис. 6). При увеличении теплопроводности тела его темп-pa выравнивается и термофоретич. сила уменьшается. Если частица не закреплена, то она будет двигаться со скоростью термофореза, при к-рой её сопротивление равно термофоретич. силе. В результате термофореза происходит, напр., осаждение частиц в топках.

Рис. 5. Парадокс Кнудсена (1); зависимость перепада давления от числа Kn (2).

Рис. 6. Изменение термофоретической силы F в зависимости от числа : 1 - для =0,2 и 2 - для =0,002, где - длина пробега в окружающем частицу тазе, d - диаметр частицы, F₁ - термофоретическая сила в свободномолекулярном пределе, - коэффициенты теплопроводности газа и тела.

Выше предполагалось, что в течении имеется лишь одно характерное число Кнудсена, определяющее режим течения. Однако это не всегда так. При обтекании тел можно выделить несколько характерных длин пробега (напр., длину пробега набегающих молекул в поле молекул, отражённых от тела, длину пробега отражённых молекул на набегающих, длину пробега отражённых молекул на отражённых). При гиперзвуковых скоростях в режиме, близком к свободномолекулярному, эти длины пробега могут существенно отличаться как друг от друга, так и от длины пробега в набегающем потоке . Величина этих длин пробега зависит от законов взаимодействия молекул между собой и с телом, от темп-ры и формы тела. Вместо числа , где L - характерный размер тела, определяющим режим течения может оказаться число Kn, построенное по одной из указанных характерных длин. Так, напр., в условиях натурного космич. полёта характерное число Kn оказывается в M раз меньше , а в условиях аэродинамич. трубы - в M раз больше, т. е. в натурных условиях при увеличении числа Маха течение удаляется от свободномолекулярного, а в условиях аэродинамич. трубы стремится к нему. Поэтому при в условиях эксперимента в аэродинамич. трубе свободномолекулярные характеристики могут достигаться при . Это связано с тем, что законы взаимодействия молекул между собой и с телом существенно зависят от темп-ры газа и стенки, так что для полного моделирования недостаточно выдержать натурные значения M и Re, но необходимо выдержать и натурные значения темп-ры набегающего потока и тела. В условиях гиперзвуковой аэродинамич. трубы, как правило, темп-ра набегающего потока ниже, чем в натурном полёте, а темп-pa тела близка темп-ре торможения T₀, в то время как в полёте большая часть тепла излучается и темп-pa тела оказывается много меньше T₀.

Разл. характер изменения аэродинамич. характеристик тел разной формы при в промежуточной области объясняется также характером столкновения разных групп молекул. При обтекании тупых тел молекулы набегающего потока рассеиваются на отражённых молекулах и сопротивление падает по сравнению со свободномолекулярным течением. При обтекании же тонких тел (пластина, параллельная потоку, тонкий конус и т. п.) в результате столкновений на тело попадают молекулы, к-рые без столкновений пролетели бы мимо тела, и это приводит к возрастанию сопротивления по сравнению со свободномолекулярныи пределом.

Как уже отмечалось, при справедливы представления сплошной среды, т. е. классич. газовой динамики, и применимы Навье - Стокса уравнения. Однако наряду с основным, "внешним", характерным размером течения L (напр., размером обтекаемого тела) в течении могут иметь место "внутренние", или "собственные", характерные размеры L_i, напр. толщина пограничного слоя Прандтля или толщина ударной волны h~. Если характерный размер области больше длины пробега молекул, то течение в ней может быть описано в рамках классич. газодинамики (напр., слой Прандтля). Однако чем ближе L_i к , тем менее точным становится такое описание.

Рис. 7. Течение в слое Кнудсена, х - расстояние по нормали к стенке, и - тангенциальная скорость, u_S - скорость скольжения, u_ист- истинная скорость газа у стенки, 1 - истинный профиль скоростей, 2 - профиль скоростей в решении уравнений Навье - Стокса с условием скольжения на стенке.

Слой Кнудсена. Если стенка не находится в равновесии с газом, то в общем случае ф-ция распределения континуального приближения не удовлетворяет микроскопич. граничному условию на стенке. Поэтому между стенкой и континуальной областью должна существовать переходная область толщиной порядка длины пробега - слой Кнудсена, в к-рой континуальное описание неправомерно. Слой Кнудсена, как и ударная волна, должен рассматриваться в рамках кинетич. теории с помощью ур-ния Больцмана. В этом слое распределение газодинамич. параметров, напр. скоростей, имеет вид, показанный на рис. 7. Скорость скольжения u_S не равна истинной скорости газа у стенки. Решение ур-ния Больцмана в слое Кнудсена связывает справедливое вне слоя Кнудсена континуальное решение с физ. условиями взаимодействия молекул с поверхностью тела. При рассмотрении течений во внешней по отношению к кнудсеновскому слою газодинамич. области истинный ход изменения скоростей или темп-р внутри слоя Кнудсена несуществен. Важны лишь скорости скольжения u_S, и_Т и скачок темп-р , дающие макроскопич. граничное условие для газодинамич. области на стенке

где А, В, С - коэф., зависящие от параметров газа у стенки, сорта молекул и закона их взаимодействия со стенкой. Заметим, что сами представления о газе как о континууме не содержат к.- л. сведений о граничных условиях на твёрдых или жидких поверхностях (кроме условия непротекания) и они должны быть получены из дополнит. предположений или эксперимента. Хотя получаемое с этими граничными условиями решение ур-ний Навье - Стокса внутри кнудсеновского слоя (прямая 2 на рис. 7) отличается от истинного решения, потоки тепла и импульса (напряжения трения) к стенке определяются с точностью, соответствующей точности самих ур-ний газодинамики.

Рис, 8. Зависимость параметров пара от массы испаряющегося материала; , -температура и числовая плотность молекул пара над испаряющей поверхностью (на границе слоя Кнудсена), n_е- числовая плотность насыщенного пара при температуре поверхности - число Маха нормального к стенке потока на границе слоя Кнудсена, - масса испарённого материала, отнесённая к массе, которую испарила бы стенка, если бы молекулы не возвращались на неё в результате столкновений в слое Кнудсена; Г-К - величина , вычисленная по формуле Герца - Кнудсена.

Важное значение имеет исследование слоя Кнудсена При установлении граничных условий для ур-ний газодинамики на поверхности, на к-рой происходит испарение или гетерогенная реакция. В этом случае слой Кнудсена связывает континуальные процессы диффузии или течения компонент, справедливые вне кнудсеновского слоя, с физ. процессами конденсации, испарения и превращения молекул на поверхности. Анализ течения в кнудсеновском слое показывает, напр., что даже при предельно сильном испарении, когда на границе кнудсеновского слоя нормальная к поверхности скорость газа становится равной скорости звука, часть молекул возвращается на поверхность. Темп-pa испаряющегося газа может быть существенно меньше темп-ры испаряющей стенки, а результаты, следующие из рассмотрения слоя Кнудсена, существенно отличаются от предсказываемых приближённой ф-лой Герца - Кнудсена (рис. 8). При сильном испарении в свой газ касательная к поверхности скорость всегда равна нулю, а при конденсации произвольна и определяется внешним по отношению к кнудсеновскому слою течением. В течении Куэтта с переконденсацией газа с одной стенки на другую все изменения параметров газа происходят в тонких слоях Кнудсена, в то время как во всём остальном течении при произвольно большом расстоянии между пластинами все параметры газа постоянны.

Выше предполагалось, что при справедливы ур-ния Навье - Стокса и что отступления от классич. газодинамики вызваны лишь изменениями граничных условий, обусловленными явлениями в слое Кнудсена. Однако имеется круг явлений, для к-рых даже при ур-ния Навье - Стокса оказываются несправедливыми.

Из кинетич. теории газов следует, что в медленных течениях (т. е. если число и число, то ) при наличии большого перепада темп-р имеют место напряжения в газе, обусловленные градиентами темп-ры, соизмеримые с классич. напряжениями, обусловленными градиентами скоростей. Вследствие этих напряжений даже около равномерно нагретых тел возникает движение газа (термострессовая конвекция). Это движение газа отличается от гравитационной естественной конвекции тем, что оно имеет место в отсутствие массовых сил, и от термофореза, к-рый возникает около тел с неравномерно нагретой поверхностью. Аналогичные явления обусловлены градиентами концентраций в смесях газов.

Истечение струй. Важным объектом исследований являются струи, истекающие в вакуум или область с низким давлением. Если истечение струи происходит из форкамеры с достаточно высоким давлением, то в струе течение может проходить все режимы от сплошной среды до свободномолекулярного. Вдоль струи темп-pa и плотность падают, а скорость увеличивается. В струях выражены релаксационные явления: по мере понижения плотности вдоль струи темп-pa (энергия) внутр. степеней свободы молекул начинает отставать от темп-ры (тепловой энергии) поступат. степеней свободы и затем стабилизируется (замораживается). Далее замораживаются скорость течения и "продольная" темп-pa (разброс в продольных скоростях молекул). В струях смесей газов разные газы ведут себя различно, что позволяет использовать струи разреженного газа для разделения газов и изотопов. При охлаждении газа в струе может происходить конденсация газа и образование кластеров ,что широко используется в технологии. T. к. условия образования кластеров для разных газов различны, то в струях смесей газов можно выделять кластеры разных газов, получать многослойные кластеры. Путём разгона молекул разл. газов в струе гелия получают почти "монохроматич." пучки молекул без теплового разброса, т. е. условия, близкие к абс. нулю темп-ры. Это позволяет лазерными методами исследовать свойства молекул, не затушёванные процессами теплового движения и столкновения молекул.

Экспериментальные исследования. Для эксперим. исследования течений разреженного газа создаются аэродинамические трубы низкой плотности (вакуумные трубы), откачка газа в к-рых производится диффузионными, бустерными или криогенными вакуумными насосами. В соплах таких труб из-за низкой плотности возникает толстый пограничный слой, поэтому для получения невозмущённого пограничным слоем ядра потока требуются сопла больших размеров. Для исследования законов взаимодействия молекул между собой и с поверхностями используются молекулярные пучки (см. Молекулярное течение ).Специфичны и методы диагностики потоков разреженного газа. Наряду с высокочувствительными весами, датчиками давления и потоков тепла (болометры) большое распространение получила диагностика потока электронными пучками, рентгеновскими лучами, лазерные методы, использующие флуоресценцию и рассеяние света молекулами.

Вакуумные трубы позволяют не только изучать явления в разреженных газах, но и исследовать детали мн. явлений в континуальной области. Разреженность газа, увеличение длины пробега молекул позволяют "растянуть" течение, как бы посмотреть на него в увеличит. стекло. Так, ударную волну или кнудсеновский слой, имеющие при нормальных условиях толщину порядка 10^-5 см, можно растянуть до размеров, приемлемых для исследования их структуры. Струи, истекающие в вакуум, являются удобным инструментом для изучения релаксационных процессов, определения констант скоростей хим. реакций, времён релаксации и т. п. Законы движения разреженного газа в каналах лежат в основе явлений в тонких капиллярах пористых тел. Процессы, имеющие место при обтекании и испарении тел в разреженном газе, являются элементами дисперсных двухфазных течений. Явления в кнудсеновском слое определяют характер гетерогенных, в частности каталитич., реакций, испарения.

Лит.: Коган M. H., Динамика разреженного газа, M., 1967; Шахов E. M., Метод исследования движений разреженного газа, M., 1974; Баранцев P. Г., Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями, M., 1975: Коган M. H., Галкин B.C., Фридлендер О. Г., О напряжениях, возникающих в газах вследствие неоднородности температуры и концентраций. Новые типы свободной конвекции, "УФН", 1976, т. 119, с. 111; Лифшиц E. M., Питаевский Л. П., Физическая кинетика, M., 1979; Гудман Ф., Вахман Г., Динамика рассеяния газа поверхностью, пер. с англ., M., 1980; Белоцерковский О. M., Ерофеев А. И., Яницкий В. E., О нестационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа, "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1980, т. 20, с. 1174; Берд Г., Молекулярная газовая динамика, пер. с англ., M-, 1981. M. H. Коган.

   <<      Предметный указатель      >>