динамическая система

ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА - матем. объект, соответств. реальным системам (физ., хим., биол. и др.), эволюция к-рых однозначно определяется нач. состоянием. Д. с. определяется системой ур-ний (дифференц., разностных, интегр. и т. д.), допускающих существование на бесконечном интервале времени единств. решения для каждого нач. условия.

Состояние Д. с. описывают набором переменных, выбираемых из соображений естественности их интерпретации, простоты описания, симметрии и т. п. Множество состояний Д. с. образует фазовое пространство, каждому состоянию отвечает точка в нём, а эволюция изображается (фазовыми) траекториями. Чтобы определить близость состояний, в фазовом пространстве Д. с. вводят понятие расстояния. Совокупность состояний в фиксиров. момент времени характеризуется фазовым объёмом.

Качеств. особенности эволюции Д. с. проявляются в характере фазовых траекторий. Напр., состоянию равновесия отвечает вырожденная траектория - точка в фазовом пространстве, периодич. движению - замкнутая траектория. Траектория квазипериодич. движения с т несоизмеримыми частотами (т. е. такими, что не существует отличных от нуля целых чисел k_i, удовлетворяющих равенству ) сколь угодно близко проходит около любой точки m-мерного тора (всюду плотна на нём). Вообще, для стационарного режима (установившегося движения системы) характерны траектории, плотные в нек-ром подмножестве фазового пространства, а для переходного процесса - траектории, не возвращающиеся в окрестность своих начальных точек.

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с--системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечномерном случае консервативные и диссипативные Д.с.- системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Гамильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систем с неогранич. фазовым пространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с непрерывным временем (потоки) а Д. с. с дискретным временем (каскады); дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель в оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике и т. д.). Грубые и негрубые Д. с.; понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. бифуркационными (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве параметров, где Д. с. оказывается негрубой.

Установившемуся движению диссипативной системы отвечает аттрактор - множество траекторий, к к-рому притягиваются все близкие траектории. Статич., периодич. или квазипериодич. режимам отвечают простейшие аттракторы: состояние равновесия, периодич. траектория и тор соответственно. Сложному непериодич. режиму отвечает странный аттрактор С .физ. точки зрения, диссипативность системы означает, что все движения с достаточно большой энергией затухают.

Иногда (не совсем точно) диссипативной наз. систему, в к-рой уменьшается объём любой области фазового пространства при сдвиге по траекториям. (В бесконечномерном случае предполагается, что уменьшается объём любого k-мерного шара при достаточно большом k.)Для конечномерной Д. с., заданной системой дифференц. ур-ний , диссипативность в этом смысле соответствует неравенству .

Локальные свойства траекторий описывают при помощи понятий дифференц. геометрии. Примером может служить Д. с., задаваемая системой п (нелинейных) дифференц. ур-ний ; здесь и X-n-мерные векторы, а точкой обозначено дифференцирование по времени. (Такая система, у к-рой ф-ции X не зависят от времени t, наз. автономной.) Поведение в окрестности состояния равновесия О: прежде всего зависит от свойств линеаризованной вблизи О системы, а именно, корней характеристич. ур-ния , где -символ Кронекера. Пусть отрицательны для р и положительны для q корней, причём р+q=п. Если р=п (р=0), точка О наз. устойчивым (неустойчивым) узлом: траектория с началом в малой окрестности точки О попадает в О при . Если , точка О наз. седлом. Через неё проходят две поверхности: р-мерная и q-мерная , наз. устойчивой и неустойчивой сепаратрисами точки О; они образованы траекториями, стремящимися к О при соответственно. Остальные траектории уходят из окрестности седла при (рис. 1). Траектория, лежащая одновременно в и (и не совпадающая с О), наз. двоякоасимптотической к О или петлей сепаратрисы седла. При стационарном движении ей отвечает бегущая локализов. волна, в данном случае спадающая при (таковы нек-рые солитоны). Если Re=0 для некоторых , то устойчивость состояния равновесия определяется следующими членами разложения векторного поля X в ряд Тейлора вблизи О.

Рис. 1. Устойчивая и неустойчивая сепаратрисы седлового состояния равновесия О.

Тот же приём линеаризации применяют для изучения поведения траекторий в окрестности периодич. движения L: . Фундам. матрица решений линеаризованной вблизи системы ур-ний имеет вид , где с(t)- периодич. ф-ция с периодом . Поведение траекторий характеризуют мультипликаторы [собств. значения матрицы ]; один из них, скажем , равен 1. Если ) для всех , то периодич. движение устойчиво (неустойчиво). Если р мультипликаторов лежат внутри, a q - вне единичного круга в комплексной плоскости, p+q=n-1, то имеем периодич. движение седлового типа. В этом случае L лежит в пересечении двух поверхностей: (р+1)-мерной и (q+1)-мерной (устойчивой и неустойчивой сепаратрис).

Поверхность состоит из траекторий, стремящихся к L при . При n=3 и р=q=1 поверхность топологически эквивалентна листу Мёбиуса, если мультипликатор, по модулю меньший (больший) 1, отрицателен, или цилиндру, если положителен (рис. 2).

Поведение траекторий в окрестности L удобно изучать, рассмотрев их следы на (п - 1)-мерной секущей поверхности D, без касания пересекающей L, и близкие к L траектории. Отображение точки m₀ из D в первую точку пересечения с D траектории, проходящей через m₀ (рис. 3), наз. отображением Пуанкаре (или отображением последования). В координатах таких, что L пересекает D в нуле, отображение Пуанкаре имеет вид.