дирихле задача

ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА - задача о нахождении решения Лапласа уравнения =0 или Пуассона уравнения =-f в области G (внутренняя Д. з.) или вне её (внешняя Д. з.), принимающего на границе S области G заданные непрерывные значения u₀. Д. з. исследована К. Гауссом (С. Gaub) в 1840 и П. Г. Л. Дирихле (P. G. L. Dirichlet) в 1850. Для внешней Д. з. требуется, чтобы решение на бесконечности стремилось к 0 в трёхмерном (n=3) и было ограниченным в двумерном (n=2) случаях. Д. з. ур-ния Пуассона связана с Д. з. ур-ния Лапласа подстановкой , где при n=3

- объёмный, а при n=2 - логарифмический потенциалы (в обоих случаях удовлетворяется ур-ние =-f), а граничное условие Д. з. меняется очевидным образом. Внешняя Д. з. сводится к внутренней преобразованием Кельвина: переходом к новым координатам и новой ф-ции . Координаты х и х' симметричны относительно сферы радиуса R с центром в нуле.

Решение Д. з. существует, единственно и непрерывно зависит от граничных условий для достаточно гладкой границы S [в частности, для S, задаваемой в окрестности каждой своей точки x₀ ур-нием с условием, что , а непрерывна вместе со своими производными]. Для внутренней Д. з. ур-ния Пуассона решение даётся ф-лой:

где п_у - внеш. нормаль к поверхности S в точке у, а G(x, у) - Грина функция Д. з., являющаяся решением ур-ния , обращающимся в 0 на S. Ф-ция Грина Д. з. интерпретируется как потенциал эл--статич. поля, создаваемого внутри заземлённой проводящей поверхности S зарядом , находящимся в точке у. Для границ S, обладающих достаточно широкой симметрией, ф-ция Грина Д. з. строится методом отражений: как линейная комбинация потенциалов, создаваемых зарядами в точке у и точках, симметричных у относительно поверхности S. В двумерном случае полезен переход от координат х=(x₁, x₂) к комплексной координате z=x₁+ix₂. Тогда ф-цию Грина строят при помощи конформного отображения области G на стандартную область, напр. круг.

Лит.: Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1966; Лаврентьев M. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд., M., 1973; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1981. В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>