дисперсионных соотношений метод

ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ МЕТОД - подход в теории элементарных частиц, выражающий ди-намич. свойства теории на языке дисперсионных соотношений (ДС) - интегральных соотношений типа Коши интеграла для амплитуды процесса взаимодействия между элементарными частицами. ДС являются прямым следствием фундам. принципов квантовой теории поля (КТП), в первую очередь физ. причинности принципа ,и не зависят от конкретного механизма взаимодействия. Поэтому, с одной стороны, ДС позволяют экспериментально проверить осн. положения КТП, с другой - играют принципиальную роль в теории сильного взаимодействия, где осн. метод расчётов КТП - возмущений теория - применим лишь в огранич. области высоких энергий и больших передач импульса (благодаря асимптотической свободе). Сформулированное теорией ДС понятие об амплитудах разл. процессов в системе элементарных частиц как о различных граничных значениях единой аналитической функции оказалось фундаментальным для дальнейшего развития теории элементарных частиц.

Впервые ДС появились в классич. теории дисперсии света, изучающей зависимость показателя преломления среды от частоты света (см. Крамерса - Кронига соотношения ).Здесь, исходя из принципа причинности, удалось получить универсальные, т. е. не зависящие от природы вещества, соотношения - ДС между вещественной и мнимой частями показателя преломления.

В КТП информация о взаимодействии частиц содержится в амплитуде перехода i невзаимодействующих нач. частиц в f невзаимодействующих конечных частиц, к-рая зависит от 4-импульсов и остальных квантовых чисел частиц. Лоренц-инвариантность, а также др. принципы симметрии позволяют выделить зависимость амплитуды перехода от остальных квантовых чисел частиц и представить её в виде суммы слагаемых вида . Операторы содержат всю информацию о принципах симметрии, а скалярные ф-ции зависят от 4-импульсов на поверхности энергии, (где -соответственно энергия, импульс и масса частиц k; используется система единиц = c = 1). Амплитуда вне поверхности энергии связана с соотношением

(- дельта-функция ).Скалярные ф-ции определяют динамику процесса, т. е. ту часть зависимости его от импульсов, к-рая не выявляется принципами симметрии. Ряд важных сведений о свойствах может быть получен из фундам. принципов КТП вне зависимости от конкретного механизма взаимодействия. Условие причинности, унитарность S-матрицы (матрицы, рассеяния)и нек-рые предположения о спектре масс (в частности, отсутствие частиц с нулевыми массами) позволяют установить, что любая амплитуда является граничным значением аналитической функции, зависящей только от инвариантных комбинаций 4-импульсов:

и т. д. Это граничное значение получается, когда аргументы стремятся к веществ. значениям (своим для каждого канала) при положит. мнимых добавках. Оказывается далее, что аналитич. ф-ция - одна и та же для любого канала, т. е. для любого разбиения i+f частиц на i начальных и f конечных. Тем самым амплитуды разл. каналов являются граничными значениями единой аналитич. ф-ции F и связаны перекрёстной симметрией. Условие унитарности показывает, где ф-ция F имеет особенности: по каждой инвариантной переменной s ф-ция F имеет полюсы и разрезы вдоль вещественной оси, отвечающие соответственно одночастичным и многочастичным промежуточным состояниям в канале, в к-ром s является квадратом полной энергии. (Полюсов по "массовым" переменным нет благодаря условию нормировки Грина функций в КТП.) Если иных особенностей, кроме требуемых унитарностью, нет, a F достаточно быстро убывает при больших s, интегральная ф-ла Коши даёт простейшее ДС:

(g² - безразмерная константа взаимодействия). Здесь интегрирование ведётся по области, где отлична от нуля , причём условия унитарности и перекрёстной симметрии позволяют выразить эту мнимую часть через амплитуды рассматриваемого и других переходов.

Использовать ДС в физике элементарных частиц предложили в 1954 M. Гелл-Ман (M. Gell-Mann), M. Голдбергер (M. L. Goldberger) и В. Тирринг (W. E. Thirring), а первое строгое доказательство необходимых для этого аналитич. свойств амплитуд дано в 1956 H. H. Боголюбовы на примере упругого рассеяния я-мезонов на нуклонах. Доказательство ДС послужило толчком и к развитию матем. методов (в теории аналитич. ф-ций многих комплексных переменных). Боголюбов, В. С. Владимиров и др. установили ряд новых теорем об аналитическом продолжении (в частности, теорему об острие клина и её обобщения; см. Аналитическая функция).

Амплитуда перехода частиц 1 и 2 в частицы 3 и 4 зависит от шести инвариантных переменных: четырёх "массовых", , инвариантной энергии и инвариантной передачи 4-импульса t=(р₁-p₂)² [удобно ввести ещё одну передачу 4-импульса и=(р₁-р₄)², связанную с независимыми переменными s, t соотношением ]. Боголюбов показал, что при вещественных значениях и огранич. передаче импульса, -t₀<t<0, амплитуда -рассеяния аналитична как ф-ция s в комплексной плоскости с разрезами вдоль вещественной оси. В дальнейшем этот результат был распространён на рассеяние , фоторожение и нек-рые виртуальные процессы. Однако аналитич. свойства амплитуд таких процессов, как NN- и KN-рассеяние, до сих пор не доказаны, хотя эти процессы детально изучены на опыте. Кроме того, существенно снижены ограничения на передачу импульса.

ДС послужил основой ряда строгих следствий фундам. принципов КТП. Это, во-первых, асимптотические теоремы, связывающие характеристики разл. процессов при высоких энергиях. Первым утверждением такого рода явилась Померанчука теорема об асимптотич. совпадении постоянных полных сечений рассеяния частицы и античастицы на одной и той же мишени. Она имеет ряд обобщений и не противоречит совр. эксперим. данным. Аналогичное утверждение для дифференц. сечений упругого рассеяния при ограниченных значениях t получено Л. Ван Ховом, А. А. Логуновым и др. Др. группа результатов относится к строгим ограничениям на асимптотич. поведение амплитуд при больших энергиях. Постулировав ДС по t, можно показать, что полное сечение растёт не быстрее (см. Фруассара теорема). Позднее было обнаружено, что это ограничение следует из строго доказываемой аналитичности амплитуды по косинусу угла рассеяния.

Для рассеяния вперёд (t=0)ImF, согласно оптической теореме, выражается через полное сечение рассеяния. Экспериментально обнаружен рост полных сечений, согласующийся с ограничением Фруассара. В этой ситуации простейшее ДС(1) требует модификации и записывается не для самой амплитуды F(s), а для комбинации [ , где точку вычитания s₀ удобно выбрать на пороге реакции: s₀=(m₁+m₂)². В получающемся ДС с вычитанием константу вычитания F(s₀)можно выразить через длину рассеяния. Такое ДС связывает (для -рассеяния) непосредственно наблюдаемые величины и константу g², и его проверка до 400 ГэВ в лаб. системе дала прямое экспериментальное подтверждение общих принципов КТП, из к-рых оно выводится.

Рост полных сечений обнаружен в , рр-взаимодействиях, что позволяет надеяться на аналогичное поведение всех полных сечений бинарных адронных процессов. При этом существенно, что эксперим. данные не противоречат максимально быстрому росту полных сечений с увеличением энергии, достигающему ограничения Фруассара. Измерение в широком интервале энергий веществ. части амплитуды рассеяния на нулевой угол и рр-процессов позволило на основе ДС установить, что рост полных сечений ожидается по крайней мере до энергии 2000 ГэВ в системе центра инерции.

Д. с. м. позволил получить ряд строгих результатов об асимптотич. поведении многочастичных процессов. Наиб. полно это было сделано А. А. Логуновым и др. для множественных процессов с выделенными частицами - инклюзивных процессов. Для них были, в частности, найдены асимптотич. ограничения скорости роста дифференц. сечений. Эксперим. исследование этих процессов в области сильного взаимодействия (Серпухов, 1968) привело К установлению явления масштабной инвариантности.

Поскольку ДС оперируют с наблюдаемыми в принципе характеристиками взаимодействия - амплитудами перехода, сечениями, в физику элементарных частиц прочно вошёл язык метода ДС, и прежде всего понятие об амплитудах как о граничных значениях аналитич. ф-ции, связанных перекрёстной симметрией. Более того, принятые без доказательства ДС часто кладут в основу теоретич. схем полуфеноменологич. характера. Так, из ДС для формфакторов выводится Голдбергера - Тримена соотношение ,выражающее константу распада -мезона через отношение аксиальной и векторной констант слабого взаимодействия и константу связи взаимодействия. С этим соотношением связаны многочисл. дисперсионные правила сумм для характеристик слабого взаимодействия в алгебре токов. Далее, постулируемое ДС по t является основой Редже полюсов метода ,сыгравшего важную роль в описании асимптотич. поведения амплитуд при больших энергиях. Наконец, постулируемое двойное ДС по s и t - Манделстама представление - дало эффективное описание взаимодействия -мезонов при низких энергиях, а также привело к формулировке концепции дуальности, связавшей поведение амплитуды при низких и высоких энергиях.

Лит.: Боголюбов H. H., Медведев Б. В., Поливанов M. К., Вопросы теории дисперсионных соотношений, M., 1958; Хагедорн Р., Причинность и дисперсионные соотношения, пер. с англ., "УФН", 1967, т. 91, в. 1; Ширков Д. В., Серебряков В. В., Мещеряков В. А., Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях, M., 1967; Логунов А. А., Мествиришвили M. А., Хрусталёв О. А., Ограничения на поведение сечений упругих и неупругих процессов при высоких анергиях, "ЭЧАЯ", 1972, т. 3, в. 1, 3; Общие принципы квантовой теории поля и их следствия, M., 1977.

В. А. Мещеряков, В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>