дисперсия волн

ДИСПЕРСИЯ ВОЛН - в линейных системах зависимость фазовой скорости гармонич. волн от частоты (длины волны) и, как следствие, изменение формы произвольных (негармонич.) волновых возмущений в процессе их распространения. Термин "дисперсия" (от лат. dispergo - рассеивать, развеивать, разгонять) был введён в физику И. Ньютоном (I. Newton) в 1672 при описании разложения пучка белого света, преломляющегося на границе раздела сред. Волновая концепция позволила объяснить это явление зависимостью скорости распространения монохроматич. волн от частоты (цвета). В результате под Д. в. стали понимать именно эту зависимость, относя к следствиям Д. в. такие физ. эффекты, как расплывание импульсов, различие фазовой и групповой скоростей, неравномерное движение волновых фронтов и т. д. Иногда термин "Д. в." используется для обозначения разложения волнового поля в гармонич. спектр (напр., при прохождении волны через дифракц. решётку). Последующая эволюция понятия Д. в. связана с его обобщениями на поглощающие, активные, параметрические и нелинейные системы (среды, волноводы, поверхности жидкостей и т. д.).

Традиц. описание Д. в. основано на представлении произвольного волнового поля в линейных однородных системах в виде совокупности гармонич. нормальных волн . Циклич. частоты и волновые векторы k нормальных волн связаны дисперсионным уравнением

в изотропных средах , - волновое число. Д. в. имеет место, если соотношение (1) не сводится к линейному и однородному. Ключевыми понятиями при анализе процесса Д. в. являются фазовые и групповые v_гр скорости. Они различаются между собой (в анизотропных средах не только по величине, но и по направлению); совпадают лишь при отсутствии Д. в., когда . Существует нек-рый разнобой в терминологии, характеризующей Д. в. Так, в классич. оптике Д. в. считается нормальной (или отрицательной), если фазовая скорость уменьшается с ростом частоты, и аномальной (или положительной), если . Однако в квантовой оптике понятие отрицательной Д. в. относят к случаю распространения света в неравновесных средах с отрицательной силой осцилляторов; а в электронике Д. в. наз. аномальной, если фазовая и групповая скорости направлены в противоположные стороны (обратные волны).

Рис. 1. Цуг на глубокой воде Наблюдатель в каждый момент времени видит три гребня; однако, измеряя их число неподвижным датчиком, он зарегистрирует шесть всплесков.

Строго говоря, и определяются для квазигармонич. волновых пакетов (длинных цугов волн), групповая скорость примерно совпадает со скоростью движения огибающей цуга, а фазовая-со скоростью перемещения вариаций поля (рис. 1). Искажениями огибающей цуга и его фазовой структуры можно пренебречь только на ограниченных участках трассы распространения длиной , где l₀-исходная длина волнового пакета. На длинных трассах цуг расплывается, его характерный размер растёт пропорционально пройденному пути: (рис. 2). В непоглощающих (и слабопоглощающих) средах v_гр совпадает со скоростью переноса энергии, а следовательно, и со скоростью передачи информации, закодированной с помощью амплитудной или фазовой модуляции.

Рис. 2. Пример расплывания волнового пакета. Сначала огибающая импульса искажается в окрестностях наиболее крутых участков (фронтов). При больших временах импульс, продолжая передвигаться в среднем с групповой скоростью, расширяется, а форма его огибающей приближённо повторяет форму пространственного спектра исходного сигнала.

Рис. 3. Схема разбегания волн на глубокой воде от одиночного всплеска.

В случае произвольных волновых возмущений, не близких к гармоническим, Д. в. может приводить к сложным явлениям. Напр. при разбегании поверхностных волн на глубокой воде от одиночного одномерного всплеска (рис. 3) число волновых гребней постоянно увеличивается; новые гребни зарождаются парами, один из них равноускоренно удаляется от места всплеска, постепенно расплываясь, другой, становясь круче, асимптотически приближается к оси симметрии всплеска. Ускорение первого гребня гравитац. волны а₁=0,325g, второго а₂=0,069g, где g - ускорение свободного падения.

Рис. 4. Распространение квазимонохроматического сигнала в многомодовом волноводе.

При неоднозначной зависимости выделяют отд. ветви нормальных волн - моды .В однородных средах они различаются либо поляризацией (напр., обыкновенные и необыкновенные волны в анизотропных кристаллах или в замагниченной плазме), либо природой формирующих волну взаимодействий (напр., ленгмюровские и ионно-звуковые волны в плазме). В волноводных системах, кроме того, моды различаются поперечной структурой полей. Каждой моде могут быть сопоставлены фазовые и групповые скорости. Одиночный импульсный сигнал, запущенный в многомодовую систему, распадается на серию отд. сигналов, распространяющихся с разл. групповыми скоростями (рис. 4).

Д. в. объясняется инерционностью и нелокальностью формирующих волну взаимодействий. Практически во всех реальных системах отклик на кратковременное сосредоточенное воздействие растянут во времени и размыт в пространстве. Соответствующие характерные времена инерционности и масштабы нелокальности определяются либо микропроцессами в диспергирующей среде, либо переотражениями на макроскопич. неоднородностях и границах волноводной системы. В ряде случаев эффекты инерционности и нелокальности проявляются независимо; при этом различают временную и пространственную дисперсию соответственно. Однако в нек-рых системах инерционность и нелокальность неразрывно взаимосвязаны, и тогда характер Д. в. определяется др. физ. величинами, имеющими, следовательно, более сложную размерность. Напр., для гравитационных поверхностных волн на глубокой воде параметром дисперсии является ускорение свободного падения , для капиллярных волн - отношение коэф. поверхностного натяжения к плотности жидкости , для волн де Бройля - отношение постоянной Планка к массе частицы .

Существует обширный класс явлений, описание к-рых не сводится к изучению свойств отд. гармонич. волн, ибо последние просто могут не являться собств. движениями в соответствующих системах. В этих случаях понятие Д. в. не допускает универсального определения, хотя всякий раз оно в той или иной степени оказывается связанным с инерционностью и нелокальностью взаимодействий.

В линейных системах с потерями волновые возмущения также могут быть представлены как совокупность экспоненциальных нормальных волн , но уже с комплексными значениями частот и волновых векторов k, мнимые части к-рых определяют временные и пространственные Г декременты затухания . Д. в. приводит к селективности потерь, т. е. к их зависимости от или k. Декремент и действит. часть частоты в силу причинности принципа не могут быть произвольными ф-циями k - соответствующие ограничения даются дисперсионными соотношениями.

В плавно неоднородных средах волновое поле достаточно хорошо описывается в приближении геометрической оптики метода, т. е. его можно представить как совокупность волн вида . Аналогом дисперсионного ур-ния (1) в данном случае является ур-ние эйконала , связывающее частоту с локальным значением волнового вектора . Закон дисперсии определяет ур-ния лучей:

В неоднородных средах Д. в. приводит к дополнит. эффекту - зависимости трассы распространения (лучей) от частоты. В системах с изменяющимися во времени параметрами (параметрических колебательных системах), кроме того, вдоль трассы распространения изменяется частотный спектр сигнала. В средах, где характерные размеры неоднородностей сравнимы с масштабами изменения поля, эффекты Д. в. часто нельзя отделить от дифракционных эффектов.

В нелинейных системах суждение о Д. в. может быть составлено на основе представлений об инерционности и нелокальности линейных взаимодействий (соответствующие свойства нелинейных взаимодействий иногда квалифицируют как нелокальность нелинейности). Примером, объединяющим нелинейность и дисперсию, может служить класс физ. явлений, описываемых Кортевега - де Фриса уравнением, впервые полученным (1895) для волн на мелкой воде:

где - относительное возмущение поверхности, h₀ - глубина водоёма, . В приближении малых амплитуд можно пренебречь нелинейностью; тогда ур-нию (3) соответствует дисперсионное ур-ние вида

Как следует из (4), ответственным за Д. в. является последний член в (3). В случае плавных возмущений, характерные масштабы к-рых , можно пренебречь Д. в., и тогда (3) переходит в ур-ние простой волны, в к-рой амплитуда постоянна вдоль характеристик

По мере распространения такого плавного возмущения (рис. 5) передний фронт волны становится круче; в отсутствие Д. в. это привело бы в конечном счёте к его обрушению. Однако Д. в. останавливает этот процесс, и волна становится сначала изрезанной, а затем разбивается на серию почти автономных, сохраняющих форму всплесков (солитонов), каждый из к-рых движется со своей скоростью. Существование стационарных нелинейных волн (солитонов и периодич. кноидальных волн) является важным проявлением Д. в., присущим многим нелинейным системам. При этом амплитуда, скорость и характерная длина оказываются связанными нелинейными дисперсионными ур-ниями; соответственно, зависимость скорости стационарной волны от её структурных параметров наз. нелинейной Д. в. Относительно др. дисперсионных эффектов в нелинейных, в т. ч. и диссипативных, средах см. Нелинейные колебания и волны, Бюргерса уравнение, Ударная волна.

Рис. 5. Распространение длинной волны в нелинейной системе с реактивной дисперсией.

Неодномерные волновые возмущения даже в однородных недиспергирующих средах демонстрируют иногда поведение, имитирующее Д. в. Наиб. известным и часто встречающимся примером являются цилиндрич. импульсные сигналы в свободном пространстве, оставляющие за собой бесконечно тянущиеся шлейфы. Эти эффекты также порой относят к Д. в., хотя они не удовлетворяют её канонич. определениям.

Лит.: Мандельштам Л. И., Полн. собр. трудов, т. 5, M., 1950; Карпман В. И., Нелинейные волны в диспергирующих средах, M., 1973; Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., M., 1977; Виноградова M. Б., Pуденко О. В., Сухоруков А. П., Теория волн, M., 1979. M. А. Миллер, Г. В. Пермитин.

   <<      Предметный указатель      >>