дифракция волн

ДИФРАКЦИЯ ВОЛН - в первоначальном узком смысле - огибание волнами препятствий, в современном, более широком - любые отклонения при распространении волн от законов геометрической оптики. К Д. в. фактически относят все эффекты, возникающие при взаимодействии волн с объектом любых размеров, даже малых по сравнению с длиной падающей волны , когда сопоставление с лучевым приближением совершенно не показательно. При таком общем толковании Д. в. тесно переплетается с явлениями распространения и рассеяния волн в неоднородных средах.

Первая волновая трактовка Д. в. дана T. Юнгом (Th. Young, 1800), вторая - О. Френелем (A. Fresnel, 1815). В картине волнового поля, возникающей за препятствием, Юнг усматривал сочетание собственно Д. в. и интерференции. Для объяснения Д. в., помимо обычных законов распространения волн в направлении лучей, он ввёл принцип поперечной передачи амплитуды колебаний непосредственно вдоль волновых фронтов, указав, что скорость этой передачи пропорциональна длине волны и перепаду амплитуд на фронте. Согласно Юнгу, возникновение дифрагиров. волны имеет локальный характер и происходит в нек-рой окрестности границы тени за краем препятствия (рис. 1). Аналогичная дифрагиров. волна образуется и в освещённой области, так что в целом формируется поле цилиндрич. волны, как бы испускаемой краем препятствия. Интерференция между дифрагиров. волной и не заслонённой препятствием частью падающей волны объясняет появление на экране В' интерференц. полос выше границы геом. тени BB' и отсутствие их в нижней части.

Рис. 1. Схема дифракции волн от края экрана по Юнгу.

Френель отказался от локального юнговского подхода и предложил свой интегр. метод, опирающийся на сформулированный ранее (1690) принцип Гюйгенса (см. Гюйгенса - Френеля принцип ).Согласно Френелю, дифракц. поле может быть представлено как результат интерференции фиктивных вторичных источников (рис. 2), распределённых по всей не закрытой препятствием части фронта падающей волны и имеющих амплитуду и фазу, пропорциональные таковым у этой волны. Френель ввёл разбиение поверхности, занятой вторичными источниками, на полуволновые зоны (т. н. Френеля зоны; рис. 3). Характер Д. в. зависит от того, сколько зон укладывается в отверстии, или от значения фре-нелевского (волнового) параметра р, равного отношению размера первой зоны Френеля к радиусу а отверстия (где z - координата точки наблюдения). Различают следующие характерные области Д. в., отвечающие разным значениям р: геометрооптическую, или прожекторную, область ; область дифракции Френеля р~1; область дифракции Фраунгофера . При фиксиров. радиусе отверстия а и длине падающей волны выделенные области последовательно проходятся по мере удаления точки наблюдения от отверстия (т. е. с увеличением z). B первой, прилегающей к отверстию области поперечное (в плоскости z=const) распределение амплитуды повторяет (исключая малую окрестность =а, т. е. распределение амплитуды на самом отверстии (отсюда термин "прожекторная область") и отвечает приближению геом. оптики (отсюда термин "геометрооптическая область"). Во второй зоне поперечное распределение амплитуды существенно искажается. Начиная с этих расстояний волновой пучок, о к-ром может идти речь, становится относительно быстро расширяющимся из-за Д. в. Наконец, в третьей, удалённой области пространства дифракц поле представляет собой расходящуюся сферич. волну с локально плоской структурой, но обладающую определ направленностью. T. о., наиб. отчётливо дифракц. явления начинают проявляться во френелевской области, т. е. с расстояний .

Рис. 2. Схема дифракции волн от края экрана по Френелю.

Рис. 3. Построение дифракционной картины за отверстием по Френелю (разбиение на зоны Френеля).

Френелевское представление о Д. в., первоначально разработанное математически лучше юнговского, вскоре получило преобладающее значение и привело к окончат. победе волновой теории света над ньютоновской корпускулярной. И только значительно позже было показано, что в равных условиях результаты вычислений методом Френеля приводятся к форме, предсказанной Юнгом. Френелевский подход встречает затруднения, когда не удаётся заранее, хотя бы приближённо, угадать распределение вторичных источников на граничных поверхностях. Это относится, напр., к Д. в. в поглощающую поверхность при распространении волн вдоль неё или к огибанию волнами плавно выпуклого препятствия. Собственно с классич. задачи такого рода о распространении эл.- магн. волн вдоль поверхности Земли (M. А. Леонтович, В. А. Фок; 1944-46) началось, по существу, интенсивное развитие юнговского подхода, что привело к существ. обогащению совр. представлений о Д. в.

По законам геом. оптики распространение в каждой лучевой трубке происходит независимо. При этом лучевая амплитуда (величина, квадрат модуля к-рой пропорционален потоку энергии вдоль трубки), сохраняя пост. значение вдоль каждой трубки, может быть отлична от нуля в одних трубках и равна нулю в смежных, что соответствует наличию резкой границы геом. тени. Д. в. в первом приближении представляет собой эффект поперечной диффузии лучевой амплитуды из одних лучевых трубок в смежные по фронтам распространяющихся волн.

Чтобы получить на основе такого представления все результаты упрощённой френелевской теории дифракции волн за отверстиями произвольной формы в плоском экране для малых углов дифракции, достаточно рассмотреть явления поперечной диффузии амплитуды по фронтам приблизительно плоских волн. Если подставить выражение приблизительно плоской волны , распространяющейся в направлении z, в волновое ур-ние , то для плавно изменяющейся амплитуды А получается ур-ние

где . Пренебрегая в левой части 2-м членом по сравнению с 1-м ввиду малости длины волны , получаем ур-ние Леонтовича (см. Квазиоптика):

к-рое может быть переписано также в виде двумерного ур-ния диффузии или теплопроводности:

если положить z=ct, т. е. связать систему отсчёта с движущейся волной, совпадающей в момент t=0 с плоскостью z=0, в к-рой расположен экран с отверстием. Когда плоская волна единичной амплитуды (A=1)падает на экран с отверстием (рис. 4 и 5), то, если принять непосредственно за отверстием амплитуду также равной единице, а за экраном - равной нулю, обнаружится расплывание амплитуды по фронту волны по мере её дальнейшего продвижения, аналогичное обычной диффузии или теплопроводности (на рис. это изображено посредством вертик. линий, толщина к-рых изменяется на фронте волны). Расчёт такого расплывания с помощью ур-ний (1) и (2) даёт результаты, совпадающие с приближёнными ф-лами френелевской Д. в. Мнимость коэф. D, приводящая к сходству ур-ния (2) с нестационарным Шрёдингера уравнением в квантовой механике, означает, что диффузия комплексной амплитуды А происходит со сдвигом фаз, вследствие чего возможны осцилляции в распределении модуля амплитуды по фронту волны. Изложенный метод позволяет решать задачи, к-рые не удаётся решить на основе френелевского метода, напр. задачу распространения волны над поглощающей поверхностью x=0, характеризуемой изотропным поверхностным импедансом , так что краевое условие на этой поверхности имеет вид , где . Когда волна, скользящая вначале вдоль идеально отражающей плоскости (рис. 6), где g=0, проходит затем нек-рый участок z₁<z<z₂, где имеется поглощение (g>0), Д. в. проявляется в том, что амплитуда волны А ослабевает на нижней части фронта по мере продвижения волны над поглощающим участком. Это подобно остыванию нагретой пластины, охлаждаемой извне с нижнего конца. После вступления волны вновь на непоглощающий участок начинается обратный процесс "прогревания" нижней части за счёт "неостывшей" верхней.

Рис. 4. Диффузия лучевой амплитуды за краем экрана.

Рис. 5. Диффузия лучевой амплитуды за отверстием.

Рис. 6. Прохождение волны над поглощающим участком поверхности.

Подобно обычной диффузии или теплопроводности, явление поперечной диффузии амплитуды по фронту волны имеет локальный характер и сравнительно сильно выражено в зонах эффективной диффузии, где градиенты комплексной амплитуды достаточно велики. На рис. 4 подобная зона изображена параболой (пунктир). С уменьшением длины волны эта парабола суживается и совпадает в пределе с границей геом. тени. В случае отверстия (рис. 5) две параболич. зоны эффективной диффузии сливаются на расстоянии , к-рое уже фигурировало во френелевском рассмотрении Д. в. Далее необходимо рассматривать эффект совместного влияния обоих краёв или, др. словами, волновой пучок в целом.

Для получения более точного представления о Д. в. рассмотрение поперечной диффузии амплитуды по фронту плоской волны недостаточно. Необходимо рассмотрение диффузии лучевой амплитуды по искривлённым фронтам, к-рые получаются в соответствии с обобщёнными законами геом. оптики для заданной формы дифрагирующих объектов и расположения источников. Так, применительно к обсуждавшейся выше Д. в. у края препятствия (рис. 1) следует учесть, что поперечная диффузия лучевой амплитуды происходит на самом деле по фронтам цилиндрич. волны, расходящейся от края; при этом вместо (1) будем иметь

( - цилиндрич. координаты с началом на краю). Пример - поперечная диффузия при дифракции плоской волны на идеально отражающем клине с произвольным углом раствора (рис. 7). Пунктирными кривыми показаны 2 зоны эффективной диффузии, охватывающие границы геом. тени для прошедшей и отражённой волн. Искривлённые стрелки внутри этих зон указывают направление диффузии вдоль цилиндрических фронтов. Остальные стрелки соответствуют направлениям распространения волновых фронтов. В областях, находящихся вне парабол, явление поперечной диффузии слабо выражено ввиду того, что градиенты лучевой амплитуды в них становятся слишком малыми. Поэтому диффузией здесь практически можно пренебречь. Расходящаяся волна в этих областях имеет характер обычной цилиндрич. волны, идущей от ребра клина и обладающей определ. характеристикой направленности. В действительности эта волна имеет своим источником не край клина, а зону эффективной диффузии; здесь собственно и происходит явление Д. в.

Рис. 7. Дифракция плоской волны на идеально отражающем клине.

Расчёт Д. в. на идеально отражающем клине, проведённый с помощью ур-ния (3), приводит к результатам, асимптотически совпадающим на расстояниях со строгим решением Зоммерфельда. В малой угл. области вблизи границы геом. тени за экраном расходящаяся цилиндрич. волна слабо отличается от плоской и может рассматриваться в сумме с незаслонённой экраном частью падающей волны как единая квазиплоская волна. В этом и состоит смысл предыдущего приближённого рассмотрения диффузии амплитуды по приблизительно плоским фронтам за отверстиями (рис. 4 и 5). Поскольку зона эффективной диффузии также принадлежит области , то результаты соответствующих расчётов оказываются правильными для малых углов Д. в.

Рис. 8. Лучевая траектория при наличии выпуклого препятствия.

Рис. 9. Дифракция волн на заднем закруглении.

При Д. в. у закруглённого края явление поперечной диффузии в теневой и освещённой областях имеет свои особенности, за к-рыми легче проследить, рассматривая распространение волн вдоль идеально отражающей плоскости, оканчивающейся закруглением только сзади или только спереди. При наличии выпуклого препятствия (рис. 8) луч, следующий из источника в произвольную точку области тени, строится согласно обобщённому Ферма принципу и подобен нити, натянутой между этими двумя точками. Волновые фронты в области тени в случае заднего закругления (рис. 9) являются эвольвентами для такого рода лучей. Д. в. обусловливается поперечной диффузией лучевой амплитуды по этим волновым фронтам из освещённой области в теневую. Зону эффективной диффузии можно условно разбить на 3 части: D_а, D_b, D_c, показанные на рис. пунктиром. В зоне D_a и в нек-рой её малоугловой окрестности дифракц. картина близка к той, к-рая получается в окрестности границы геом. тени за острым краем экрана или клина (рис. 7). В зоне D_c диффузионная передача лучевой амплитуды вдоль дуги может происходить только "каскадным" способом, в к-ром диффузионное и лучевое распространения чередуются между собой так, что процесс диффузии в последующие трубки начинается лишь после того, как диффузия в предыдущие трубки уже заканчивается; это объясняется тем, что внутри данной зоны любые 2 достаточно удалённые друг от друга лучевые трубки, напр. для участков , не связаны между собой общим волновым фронтом. В результате, как показывают более детальные расчёты, в зоне D_c устанавливается процесс диффузии, экспоненциально ослабевающий в направлении дуги S, чему соответствует экспоненц. затухание амплитуды на луче, скользящем вдоль S:

где -радиус кривизны соответств. участка направляющей поверхности, а 2,34, если на поверхности обращается в нуль само поле, и 1,02, если обращается в нуль его нормальная производная. Наличие в показателе экспоненты мнимой части эквивалентно нек-рому уменьшению скорости распространения, обусловленному описанным выше механизмом последоват. диффузии в зоне D_с. Когда луч ответвляется по касательной от дуги S и выходит из зоны D_c, поперечная диффузия лучевой амплитуды практически прекращается, так что она убывает в соответствии с обычным законом расширения лучевых трубок. Однако экспоненц. затухание, к-рому подвергалась лучевая амплитуда за время прохождения волнового фронта в зоне диффузии D _с, приводит к тому, что в области тени для больших углов Д. в. за выпуклым препятствием поле гораздо слабее, чем за аналогичным препятствием с острым краем. Дифрагиров. волна, идущая из точки В вверх и назад навстречу падающей волне, формируется за счёт диффузии лучевой амплитуды вдоль тех цилиндрич. волновых фронтов, имеющих относительно малый радиус, к-рые расположены в промежуточной зоне D_b. При большом радиусе кривизны поверхности тела вправо от точки В указанное явление диффузии очень слабо выражено, а следовательно, в отличие от случая острого края, рассеяние вверх и назад пренебрежимо мало.

Для объяснения явлений Д. в. у края препятствия, закруглённого спереди, можно рассматривать отражённую и падающую волны как продолжение (в смысле отражения) одна другой (рис. 10). Лучевые трубки в отражённой волне по мере приближения к точке В, во-первых, становятся относительно резко расширяющимися, что приводит к быстрому ослаблению поля в них; во-вторых, всё теснее прижимаются к поверхности тела, где имеет место связь отражённого поля с падающим. Возникающие благодаря этому заметные различия лучевых амплитуд на близких участках объединённого фронта падающей и отражённой волн вызывают поперечную диффузию в соответствующих зонах эффективной диффузии D₁ и D₂, к-рые показаны на рис. 10 наложенными друг на друга. В результате как падающая волна, так и суммарное поле достигают точки скольжения В значительно ослабленными.

Рис. 10. Дифракция волн на переднем закруглении.

Следует подчеркнуть, что широкое развитие метода поперечной диффузии или метода параболич. ур-ния связано с освоением всё более коротковолновых эл--магн. диапазонов (появлением мазеров, лазеров и т. п.) и необходимостью соответствующего "эл.- динамич. обеспечения" (см. Квазиоптика). Более того, этот метод оказался адекватным нек-рым нелинейным дифракционным задачам типа самофокусировки или самоканализации эл--магн. волн.

Матем. рассмотрение Д. в. в общем случае совпадает с рассмотрением волнового поля, возбуждаемого нек-рым источником в бесконечной или конечной области, заполненной однородной или неоднородной средой, т. е. решение задачи Д. в. сводится к решению задачи о вынужденных колебаниях в такой области. При этом, естественно, могут быть использованы традиц. методы решения краевых задач матем. физики. См. также Волны, Дифракция радиоволн, Дифракция рентгеновских лучей, Дифракция света. Явления дифракции имеют место и в микромире (см. Дифракция частиц), поскольку объектом квантовой механики свойственно волновое поведение.

Лит.: Mенцер Дж. Р., Дифракция и рассеяние радиоволн, пер. с англ., M., 1958; Уфимцев П. Я., Метод краевых волн в физической теории дифракции, M., 1962, Xенл X., Mауэ А., Вестпфаль К., Теория дифракции, пер. с нем., M., 1964; Вайнштейн Л. А., Теория дифракции и метод факторизации, M., 1966; Фок В. А., Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн, M., 1970; Боровиков В. А., Кинбер Б. E., Геометрическая теория дифракции, M., 1978; Ваганов P. Б., Каценеленбаум Б. 3., Основы теории дифракции, M., 1982. И. Г. Кондратьев, Г. Д. Малюжинец.

   <<      Предметный указатель      >>