дифракция света

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА - в узком, но наиболее употребительном смысле - огибание лучами света границы непрозрачных тел (экранов); проникновение света в область геом. тени. В широком смысле Д. с.- проявление волновых свойств света в предельных условиях перехода от волновой оптики к геометрической. Примерами Д. с., понимаемой в широком смысле, являются рассеяние света капельками тумана, формирование изображения оптич. системами (напр., микроскопом) и т. п. Наиб. рельефно Д. с. проявляется в областях резкого изменения плотности потока лучей; вблизи каустик, фокуса линзы, границ геом. тени и др.

Д. с. как волновое явление, исчезающее в пределе , зависит от длины волны света . Красный свет сильнее дифрагирует (сильнее отклоняется границами тел), чем фиолетовый, т. е. разложение белого света в спектр, вызванное дифракцией, имеет обратную последовательность цветов по сравнению с получающейся при разложении света в призме. Это различие часто является решающим при выяснении природы многих атм. оптич. явлений.

Проникновение света в область геом. тени было известно уже в 16-17 вв., однако объяснение этому было дано лишь в 19 в. Тогда были выдвинуты и развиты две, казалось бы, не имеющие ничего общего концепции Д. с. T. Юнг (Th. Young; 1800) предположил, что Д. с. обусловлена диффузией световых волн вдоль волновых фронтов. Чередование тёмных и светлых полос на границе тени и света он считал результатом интерференции падающей плоской волны и вторичной, цилиндрической, связанной с диффузией. Вторичная, цилиндрич. волна принимается из области глубокой тени как ярко светящаяся грань экрана. Юнг не развил количеств. методов расчёта Д. с., и его концепция долго не находила поддержки.

Приближённая теория Д. с. создана в 1816 О. Френелем (A. Fresnel). Д. с., по Френелю, - результат интерференции вторичных волн (см. Гюйгенса - Френеля принцип ).Несмотря на недостатки, эта теория сохранила своё значение и служит основой расчётов дифракц. эффектов в инструментальной оптике.

В теории Френеля амплитуда u_p светового поля в точке наблюдения P (рис. 1) слагается из парциальных амплитуд сферич. волн, испускаемых всеми элементами dS поверхности S, не закрытой экраном:

где k - волновой вектор , п - нормаль к dS, r - расстояние от P до - угол дифракции, u_S - значение поля на S и - константа, определяющая интенсивность дифрагированной волны. Френель предложил приближённый метод вычисления интеграла (1), заключающийся в разбиении поверхности S, совмещённой с фронтом падающей волны, на т. н. Френеля зоны ,расстояния от края к-рых до точки P отличаются на . Поэтому соседние зоны вносят в поле u_p вклады противоположных злаков, взаимно компенсирующие друг друга. Освещённость в точке P зависит от местоположения и размера диафрагмы. Эта зависимость определяется кол-вом зон, доступных видению из P: если открыто чётное число зон, то в центре дифракц. картины получается тёмное пятно (рис. 2, 6), при нечётном числе зон - светлое (рис. 2, а). Метод Френеля также качественно объясняет причину засвечивания в области геом. тени от круглого экрана: светлое пятнышко (т. н. пятно Пуассона) создаётся вторичными волнами первой кольцевой зоны Френеля, окружающей экран (рис. 3). Метод расчёта освещённости за системой экранов с использованием зон Френеля положен в основу теории зонных пластинок.

Рис. 1. Обрезание волнового фронта краями экрана.

Рис. 2. Дифракция на круглом отверстии при открытом нечётном (а) и чётном (б) числе зон.

Метод зон Френеля эффективен, когда картину дифракции определяют лишь неск. зон (т. н. дифракция Френеля, или дифракция в сходящихся лучах). Учёт изменения фаз вторичных волн, пришедших в P от разл. точек зоны, уточняет дифракц. картину. Такое уточнение становится решающим, когда поверхность S составляет малую долю зоны или дифракция наблюдается вдали (в случае т. н. дифракции Фраунгофера). Единая для обоих случаев теория Д. с. в рамках принципа Гюйгенса - Френеля базируется на вычислении (1) при условии малости по сравнению (рис. 1) с поперечными размерами d экранов и диафрагм, по сравнению с радиусами кривизны L поверхности S и в случае малых дифракционных углов.

Рис. 3. Дифракционная картина от круглого экрана, в центре геометрической тени - светлое пятно (т. н. пятно Пуассона).

При вычислении (1) полагают S совпадающей с волновой поверхностью, пренебрегают медленными и малыми вариациями величины на S и разлагают фазу в экспоненте в ряд по обратным степеням удаления P от экрана, ограничиваясь лишь первым порядком малости. T. о. (1) преобразуется к виду:

где ,a R-вектор, соединяющий середину экрана с P, и =const. B практич. задачах, напр. встречающихся в дифракц теории аберрации, считается, что S близка к поверхности второго порядка, и это дополнительно упрощает вычисления (2).

При расчётах различают два альтернативных случая в зависимости от соотношения между R, L и d, соответствующих дифракции Фраунгофера и Френеля. Дифракция Фраунгофера имеет место, когда ,т.е. , где . При очень удалённом от экрана источнике света можно пренебречь кривизной фронта волны, считать её плоской , тогда . T. о., дифракция Фраунгофера наблюдается в случае, если размер отверстия значительно меньше зоны Френеля. Картину дифракции в этом случае можно характеризовать угл. распределением интенсивности потока, расходящегося с углом расходимости . Картина дифракции Фраунгофера не меняется, если экраны превратить в диафрагмы, а последние - в экраны (Бабине теорема ).Из этого следует, в частности, что маленький экран может служить фокусирующей системой в той же степени, что и отверстие в камере-обскура.

Более сложный в матем. отношении случай дифракции Френеля вызывается изогнутостью дифрагирующего волнового фронта или связан с его относительно большими угл. размерами , воспринимаемыми из точки наблюдения P. Дифракция Френеля наблюдается, когда размер отверстия сравним с размером зоны Френеля . Расчет этого случая требует применения спец. ф-ций даже при простейшей геометрии обрезания волновых фронтов. В случае дифракции плоской волны, нормально падающей на экран-полуплоскость, распределение освещённости на расстоянии R за экраном имеет вид, представленный на рис. 4. Поле за экраном определяется интегралами:

где

Здесь , х - расстояние до геом. тени, u₀ - световое поле в отсутствии экрана, С и S - Френеля интегралы. .В этом случае нет резкой границы между светом и тенью, в области геом. тени интенсивность света убывает монотонно по степенному закону: , на освещённой части видны дифракц. полосы, интенсивность меняется по закону

.

Освещённость по всей области в случае дифракции Френеля на полуплоскости удобно определять графически с помощью Корню спирали. При Д. с. на полуплоскости ни при каких условиях не реализуется случай дифракция Фраунгофера.

Рис. 4. Дифракция плоского волнового фронта на полуплоскости; а - графическое распределение интенсивности I, б - дифракционная картина.

Дифракция плоской волны на щели (рис. 5) также описывается интегралами Френеля. При нормальном её падении поле определяется

где , d - ширина щели, х - отсчитывается от плоскости симметрии. При переходе от дифракции Френеля к дифракции Фраунгофера происходит многократное неполное затенение центра картины. Наибольшее затенение (интенсивность 0,6 падающей) получается при (рис. 5, а). При дифракции Фраунгофера доля света, приходящаяся на осн. максимум в центре картины, значительно превосходит освещённость всего остального (рис. 5, в). Следует отметить, что чем уже щель, тем больше дифракц. расходимость света. По этой причине картина фраунгоферовой дифракции на прямоугольнике (рис. 6) сильнее вытянута вдоль его короткой стороны. Побочные максимумы вдоль осей симметрии появляются всегда при Д. с. на фигурах с углами и обусловливают явления "световых вееров", к-рые при наблюдении маленьких светящихся объектов выглядят радиальными лучиками.

Картины дифракции Френеля на круглых диафрагме и экране (рис. 2 и 3) в общем случае трудны для анализа. Однако об их особенностях можно судить по освещённости на осевой линии. За экраном на оси освещённость монотонно возрастает по мере удаления от экрана и стремится к ¹/₄ интенсивности падающего света. На оси за круглой диафрагмой имеется бесконечное число мест, где интенсивность достигает интенсивности падающего света и в промежутках между ними - бесконечное число мест с нулевой интенсивностью. Картина дифракции Фраунгофера на экране (диафрагме) представляет собой центральное яркое пятно, окружённое системой тёмных и светлых колец, на долю к-рых приходится малая часть дифрагировавшего света.

Рис. 5. Распределение интенсивности при дифракции на щели: ; ; в - дифракция Фраунгофера, . Пунктиром показано распределение интенсивности, к-рое получилось бы по законам геометрической оптики.

Рис. 6. Дифракция Фраунгофера на прямоугольной диафрагме.

Сложную картину Д. с. представляет область фокуса линзы (рис. 7) с фокусным расстоянием f и апертурой а. Осн. световая энергия сосредоточена в эллипсоиде вращения с центром в фокусе и полуосями - продольной и - поперечной. Вне эллипсоида имеются кольцеобразные области затемнения (кольца Эйри).

Рис. 7. Линии равной интенсивности (изофоты) вблизи фокуса линзы сходящейся сферической волны, дифрагировавшей на круглом отверстии.

Теория Френеля полностью удовлетворяет требованиям практики, в первую очередь инструментальной оптики, однако она ограничена рамками эвристических принципов. Математически полное построение теории Френеля выполнил Г. P. Кирхгоф (G. R. Kirchhoff; 1882), применив интегральное соотношение Гельмгольца

связывающее поле в точке P с его значением на произвольной поверхности, охватывающей P; r - расстояние до поверхности S. Кирхгоф показал, что если экран считать неизлучающим, т. е. поле и его нормальная производная на экране - нули, то (6) принимает вид дифракц. интеграла (1). Однако в теории Кирхгофа не учитываются векторный характер световых волн и свойства самого материала экрана.

В строгих методах Д. с. рассматривается как вид рассеяния света, а математически - как граничная задача рассеяния. Число таких задач, решённых точно, невелико. Среди них решённая первой А. Зоммерфельдом (A. Sommerfeld; 1869) задача дифракции плоской волны на идеально проводящем клине. Решение этой задачи позволяет выяснить пределы применимости теории Френеля - Кирхгофа и даёт корректную матем. основу представлениям Юнга. Из этого решения следует, что свет проникает в область тени сильнее, чем предсказано (3). На открытой полуплоскости, дополняющей экран, там, где в теории Френеля - Кирхгофа поле при нормальном падении считается заданным и постоянным, решение Зоммерфельда предсказывает сильные осцилляции при произвольных удалениях от края экрана. Зависимость поля от r вдали от края в области тени такая же, как если бы край был линейным источником волны, т. е. , что согласуется с представлениями Юнга. На самом деле, край не бесконечно тонкий источник, хотя и при приближении к нему плотность потока неограниченно растёт. По этой причине глазу, аккомодированному на край, он кажется светящейся линией.

Развитие концепции излучающего края - граничной дифрагированной волны - и выяснение её связи с теорией Френеля - Кирхгофа выполнено Дж. А. Маджи (G. A. Maggi; 1888) и А. Рубиновичем (A. Rubinowicz; 1917). Было показано, что интеграл Кирхгофа - Френеля по поверхности можно преставить двумя слагаемыми. Первому соответствует поле, описываемое законами геом. оптики. Второе - интеграл по контуру края экрана (диафрагмы) - описывает дифрагированное поле, источником к-рого служит этот край. Теория граничной дифрагированной волны правильно описывает область малых углов дифракции, потому что эта теория- строгое следствие френелевой. Граничной волной можно объяснить проникновение света в область геом. тени и представить это как результат своеобразного отражения - преломления падающих лучей на грани экрана (диафрагмы).

Рассмотренные выше случаи относились к Д. с. на телах с острыми краями. Резкое обрезание волновых фронтов приводит к характерным для дифракц. картин структурам полос. Причём, несмотря на то, что радиусы закругления краёв реальных экранов велики по сравнению с , дифракц. картины почти не зависят от формы краёв и их размеров: даже стеклянная пластинка радиусом в неск. метров, изогнутого края к-рой касается световая волна, создаёт структуру полос того же вида, что и лезвие бритвы. В дифракц. картине наряду со структуированной составляющей присутствует медленно меняющийся фон. Среди явлений Д. с. имеются такие, в к-рых эффектами границ можно пренебречь и в к-рых на первый план выступают плавные деформации светового поля (как, напр., расплывание пучка при его распространении и дифракционная расходимость ).Среди световых пучков с плавным распределением интенсивности по сечению выделяют т. н. гауссовы пучки, у к-рых закон изменения поля по радиусу r

не меняется вдоль оси распространения z, а "радиус" пучка растёт линейно; b - параметр пучка. Расплывание пучков - характерное явление диффузионной Д. с., в теории к-рой нашла воплощение юнгова концепция диффузии волновых фронтов. В этой теории считается, что амплитуда светового поля медленно меняется вдоль лучей на масштабе . Осн. ур-ние диффузионной теории - ур-ние параболич. типа - аналогично нестационарному ур-нию Шрёдингера. Задачи диффузионной Д. с. связаны с исследованием распространения света в средах с крупномасштабными (по сравнению с ) неоднородностями диэлектрич. проницаемости: в турбулентных средах, в голографич. системах, при Д. с. на ультразвуке и др. В этих случаях Д. с. часто неотделима от сопутствующей ей рефракции света.

Д. с. играет в оптике и физике вообще исключительно важную роль: ею определяются, напр., предельные возможности оптич. приборов, разрешающая сила микроскопов и телескопов, добротность открытых резонаторов и др. Появление лазеров определило новый круг задач и явлений, связанных с Д. с. К ним относятся вопросы дифракции частично когерентных полей или явление самодифракции в нелинейных оптич. средах (см. Нелинейная оптика).

Лит.: Ландсберг Г. С., Оптика, 5 изд., M., 1976; Зоммерфельд А., Оптика, пер. с нем., M., 1953; Xенл X., Ma уз А., Вестпфаль К., Теория дифракции, пер. с нем., M., 1964; Борн M., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., 2 изд., М, 1973; Сивухин Д. В., Общий курс физики, 2 изд., [т. 4] - Оптика, M., 1985; Ваганов P. Б., Каценеленбаум Б. 3., Основы теории дифракции, M., 1982. С. Г. Пржибелъский.

   <<      Предметный указатель      >>