дифференциальная форма

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА -алгебраич. функция от дифференциалов координат. Используется в матем. анализе и дифференц. геометрии, а также в их приложениях. В физ. приложениях дифференциал координаты, , понимают как "бесконечно малое приращение" и заменяют конечным, но достаточно малым приращением . Поэтому Д. ф. оказывается ф-цией, зависящей от разностей координат двух "бесконечно близких" точек. Д. ф. можно определить в любом многообразии.

Важнейшим примером Д. ф. является метрика (квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в римановом пространстве) , определяемая метрическим тензором (но повторяющимся индексам подразумевается суммирование, п - размерность многообразия). Произвольная симметричная Д. ф. степени r имеет вид и определяется симметричным ковариантным тензорным полем ранга r (см. Тензор), Несимметричное ковариантное тензорное поле также определяет Д. ф. В этом случае входящие в определение формы дифференциалы (приращения) координат, различны: . Напр., антисимметричный дискриминантный тензор определяет в n-мерном евклидовом пространстве форму степени п вида - элемент объёма (это объём параллелепипеда, вдоль j-й стороны к-рого приращение координат равно ).

При переходе к др. системе координат дифференциалы и коэф. Д. ф. меняются согласованно, так что сама форма остаётся неизменной (инвариантной).

Особенно важны т. н. внешние Д.ф., определяемые тензорами, антисимметричными по всем индексам. Для внешней Д.ф. степени (ранга) r используют запись

где (т. н. внешнее произведение дифференциалов) - формальное выражение, антисимметричное по всем индексам. Коэф. не обязательно антисимметричны, но в Д. ф. даёт вклад лишь антисимметричная часть, . Выражение (*) пригодно лишь в том случае, если всё многообразие покрывается одной системой координат. В противном случае Д.ф. следует представить в виде суммы Д.ф., каждая из к-рых обращается в ноль за пределами одной координатной окрестности, т. е. представима в виде (*). Внешнюю Д. ф. ранга r обычно наз. r-формой. Внешняя Д. ф не может иметь ранг выше п (иначе она обращается в ноль). Формой ранга 0 по определению является ф-ция на многообразии (тензор нулевого ранга). Каждой r-форме вида (*) можно сопоставить (r + 1)-форму , к-рая наз. внешней производной или внешним дифференциалом формы . Вторичное применение операции d обращает в ноль любую внешнюю Д. ф., т. е. . Внешняя производная 0-формы, т. е. ф-ции, совпадает с её дифференциалом,, поэтому

Внешняя Д. ф. наз. замкнутой, если =0, и точной, если существует такая форма , что . В силу свойства dd=0 всякая точная форма является замкнутой. Обратное справедливо не всегда, напр. это так на многообразии, покрываемом одной системой координат. Поэтому классы замкнутых форм, отличающихся на точные формы, можно использовать для характеристики топологии многообразия.

Для r-формы и s-формы определена (r+s)-форма

наз. их внешним произведением и удовлетворяющая соотношениям:

В n-мерном евклидовом (псевдоевклидовом) пространстве, где при помощи метрич. тензора можно поднимать тензорные индексы, для внешних Д. ф. определяется операция перехода к дуальным Д.ф. (см. также Дуальные тензоры):

переводящая r-форму в (п - r)-форму.

В римановом пространстве внеш. производную можно выразить через ковариантные производные,

т. к. в силу симметричности Кристоффеля символов члены, отличающие ковариантную производную от обычной, не дают вклада в . Дуальная форма в римановом пространстве определяется как

где индексы подняты при помощи метрич. тензора, а вместо дискриминантного тензора использован тензор (точнее, тензорная плотность) Леви-Чивиты

Оператор * в этом случае наз. операторомХоджа. В римановом пространстве вводят также операцию внешнего кодифференциала, понижающего ранг формы:

Эти операции обладают след. свойствами:

На ориентируемых многообразиях корректно определён интеграл от внешней Д. ф. макс. ранга. Если п - размерность многообразия, то

и поэтому n-форму можно представить в виде

где (последнее равенство справедливо лишь в случае, когда величина антисимметрична по всем индексам). При замене координат величина s преобразуется по закону

,

совпадающему с законом преобразования плотности, если якобиан, , положителен. Поэтому величина ведёт себя как плотность для ориентируемых многообразий. Для такого многообразия интеграл от формы равен

где фигурирует система координат положительной ориентации.

Если - нек-рая форма макс. ранга на ориентируемом многообразии, то умножая её на произвольную ф-цию , можно получить новую форму , к-рую также можно интегрировать. Поэтому форму можно использовать как меру, чтобы интегрировать по этой мере любые ф-ции на многообразии. В частности, на римановом ориентируемом многообразии можно использовать форму (риманову меру). Интегрирование форм является мощным инструментом в приложениях гл. обр. потому, что для интегралов от форм справедлива теорема, обобщающая Стокса формулу из обычного векторного анализа в . В общем случае теорема Стокса выражается ф-лой , где через обозначена границa M. Для многообразия M размерности п ранг формы равен n-1 и совпадает с размерностью многообразия . Ориентация многообразия в теореме Стокса согласуется с ориентацией многообразия M. Для этого в M (в окрестности нек-рой граничной точки его) выбирается такая система координат , в к-рой граница определяется условием , а внутр. точкам многообразия M соответствуют значения хⁿ>0. Тогда совокупность чисел может служить системой координат на .

Частными случаями сформулиров. теоремы являются не только обычная ф-ла Стокса, но и ф-ла Гаусса- Остроградского, и целый ряд других интегр. соотношений, применяемых в физике, в частности в теории поля.

На примере электродинамики видно, как естественно выражаются физ. законы в терминах внеш. форм и интегралов от них: 4-вектор тока I_i (i = 0, 1, 2, 3) определяет 1-форму , а тензор напряжённости эл--магн. поля F_ij - 2-форму в пространстве-времени (x⁰=ct). В этих терминах первая пара ур-ний Максвелла (к-рая в обычных 4-мерных обозначениях записывается как ) принимает вид dF=0, а вторая выражается через дуальные формы в виде . С помощью теоремы Стокса из этих ур-ний легко выводятся соотношения (интегр. форма ур-ний Максвелла)

,

где V - любая 3-мерная гиперповерхность в 4-мерном пространстве-времени. Напр., если V - чисто пространств. объём (т. е. область на гиперплоскости пост. временя), то первое соотношение означает обращение в ноль магн. потока через любую замкнутую поверхность, а второе утверждает, что поток электрич. поля через замкнутую поверхность пропорционален полному заряду, находящемуся внутри неё.

Лит.: Арнольд В.И., Математические методы классической механики, 2 изд., M., 1979; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия. Методы и приложения, 2 изд., M., 1985; 3орич В. А., Математический анализ, ч. 1-2, M., 1981-84; Шутц Б., Геометрические методы математической физики, пер. с англ., M., 1984. M. Б. Менский.

   <<      Предметный указатель      >>