дифференциальный оператор

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР - оператор, заданный дифференц. выражением и действующий в пространстве ф-ций. Дифференц. выражение обобщает понятие производной. Обыкновенное дифференц. выражение строится след. образом. Пусть F(x, у₀, y₁,. . .,у_п)- вещественная ф-ция (n+2) переменных, определённая для значений своих аргументов в прямоугольной области , где I, J_k, - отрезки числовой оси (возможно, уходящие на ). Отвечающее ей дифференц. выражение определено на ф-циях и(х)с необходимыми свойствами дифференцируемости в : для х из I все существуют и принимают значения из J_k при Макс. порядок производной наз. порядком дифференц. выражения. Дифференц. выражение наз. квазилинейным, если F линейна по у_п, и линейным, если она линейна по всем у_k, . Все остальные дифференц. выражения наз. нелинейными. Для дифференц. выражений с частными производными независимые переменные пробегают область в , а остальными аргументами F являются ф-ция и(x)и её частные производные .

Квазилинейность дифференц. выражения с частными производными означает линейность F по всем производным макс. порядка, а его линейность - линейность F по всем производным и самой ф-ции и. Вся эта терминология автоматически переносится на Д. о.

Помимо дифференц. выражения Д. о. определяется классом ф-ций, в к-ром он действует. С матем. точки зрения разл. классам ф-ций (с разными свойствами гладкости и разными граничными условиями) отвечают разл. Д. о. Это различие имеет и физ. интерпретацию.

В большинстве физ. примеров Д. о. линейны. Важнейшие из них - операторы квантовой механики. Напр., операторы импульса , орбитального момента , гамильтониан для волновых функций в координатном представлении реализуются как Д. о.:

,,

(здесь j, k, l - циклич. перестановки индексов 1, 2, 3, т - масса, V - потенц. энергия частицы). Физ. интерпретация их собств. значений требует, чтобы эти Д. о. были самосопряжёнными операторами. Но даже в тривиальной физ. ситуации одномерного свободного движения на полуоси гамильтониан будет самосопряжённым Д. о. лишь для волновых ф-ций , удовлетворяющих граничным условиямс веществ. а. Такие ф-ции можно представить как суперпозицию приходящей и уходящей плоских волн с импульсом k, где описывает изменение фазы при отражении в точке q=0. T. о., разные граничные условия описывают разные законы отражения и, следовательно, разные физ. ситуации.

С помощью дифференц. выражений формулируют и дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования, единственности, зависимости от нач. данных для решений дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке свойств Д. о. как вопросы об области определения, ядре, непрерывности обратного оператора. Напр., теоремы существования решений доказывают с помощью метода сжатых отображений - классич. метода теории операторов. Существенную информацию дают исследование спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложение по его собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о. Наиб. развита теория линейных Д. о., к-рые вообще являются важнейшим примером неограниченных операторов (см. Линейный оператор). В дифференц. геометрии и физ. приложениях особую роль играет класс Д. о., не меняющихся или меняющихся спец. образом при действии на дифференц. выражение преобразований из нек-рой группы (см., напр., Ковариантная производная, Лапласа оператор). Д. о. служат для описания структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщённую функцию медленного роста можно представить как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию степенного роста.

Лит.: Наймарк M. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., M., 1969; Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., M., 1985; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., M., 1982. В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>